嵌套积分方程组零解(m=0,q=0)的图形化稳定性分析方法问询

先给大家回顾一下简单Ising模型的均值场方程（无外场情况）：
$$m=\mbox{tanh}\left(\frac{m}{T}\right)$$
这里我们假设所有耦合项等效且取值为1，其中$m$是全局磁化强度，$T$是温度。$m=0$是对所有$T$都成立的解，但当$T<1$时这个解是不稳定的——我们可以通过绘制$m$和$\mbox{tanh}\left(\frac{m}{T}\right)$的曲线，观察交点情况来直观判断：当$T<1$时，从图形上就能看到$m=0$这个解的不稳定性，就像下图展示的那样：

图形化求解均值场方程

现在我遇到了一个更复杂的问题：
我需要数值求解以下积分方程组：
$$q(J_0,T)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{z2}{2}},\mbox{tanh}^2\left(\frac{z\sqrt{q(J_0,T)}+J_0 m(J_0,T)}{T}\right) dz$$
$$m(J_0,T)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{z2}{2}},\mbox{tanh}\left(\frac{z\sqrt{q(J_0,T)}+J_0 m(J_0,T)}{T}\right) dz$$
并在$J_0$-$T$平面上绘制$q(J_0,T)$和$m(J_0,T)$的取值。我用Mathematica的FindRoot函数来做这件事，已经得到了对应的分布图：

$m$在$J_0$-$T$平面的分布图
$q$在$J_0$-$T$平面的分布图

但目前有个问题：$q$和$m$的求解结果完全依赖于FindRoot的初始值选择。从数学上很容易看出，$q=0$且$m=0$始终是一个解，但我预期一般情况下存在非平凡解。就像简单Ising模型那样，这个零解应该会在某些$J_0$和$T$的取值组合下变得不稳定。

我想请教一下，有没有类似简单Ising模型那样的图形化方法，能让我直观判断$(m=0,q=0)$这个解在哪些条件下是不稳定的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ruth Murphy