利用全导数定义求解二次型在给定点的全导数的疑问

已知二次型是一个函数 $q: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$，定义为
$$q(x) = \langle x, Bx\rangle$$
其中 $B$ 是 $n \times n$ 对称矩阵。要求利用全导数的定义，确定 $q$ 在点 $a \in \mathbb{R}^{n}$ 处的全导数。

你的尝试回顾 #

你已经正确完成了核心展开步骤：
$$
\begin{align} q(a+h)-q(a) & = \langle a+h,Ba+Bh \rangle - \langle a, Ba \rangle \ & = \langle a, Ba \rangle + \langle a,Bh\rangle + \langle h,Ba \rangle +\langle h,Bh \rangle - \langle a,Ba \rangle \ &= \langle a,Bh \rangle +\langle h,Ba \rangle + \langle h,Bh \rangle \end{align}
$$
也明确了目标：找到线性映射$A$，使得
$$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{q(a+h)-q(a)-A(h)}{||h||}=0$$

接下来的关键推导 #

别慌，你已经离答案很近了，咱们一步步拆解：

1. 合并线性项：利用对称矩阵的特性
   因为$B$是对称矩阵（$B^T=B$），再结合内积的对称性$\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$，可以把前两项合并：
   $$\langle h, Ba \rangle = \langle B^T h, a \rangle = \langle Bh, a \rangle = \langle a, Bh \rangle$$
   所以前两项相加后简化为：
   $$\langle a,Bh \rangle + \langle h,Ba \rangle = 2\langle a, Bh \rangle$$

2. 判断高阶无穷小项
   再看第三项$\langle h, Bh \rangle$，用柯西-施瓦茨不等式估计它的量级：
   $$|\langle h, Bh \rangle| \leq |h| \cdot |Bh| \leq |h| \cdot |B| \cdot |h| = |B| \cdot |h|^2$$
   两边除以$|h|$后得到：
   $$\frac{|\langle h, Bh \rangle|}{|h|} \leq |B| \cdot |h|$$
   当$h\rightarrow 0$时，右边会趋近于0，这说明$\langle h, Bh \rangle$是$|h|$的高阶无穷小，在极限计算中会消失。

3. 确定全导数的线性映射
   根据全导数的定义，我们只需要取$A(h)$为$q(a+h)-q(a)$中的线性部分，也就是：
   $$A(h) = 2\langle a, Bh \rangle$$
   你也可以把它转换成更直观的形式：

• 内积形式：$A(h) = \langle 2Ba, h \rangle$（利用$\langle a, Bh \rangle = \langle Ba, h \rangle$的性质）
• 矩阵形式：如果用向量转置表示内积，$A(h) = 2a^T B h$，对应的线性映射矩阵为$2a^T B$

4. 验证符合定义
   把$A(h)$代入极限式后：
   $$\frac{q(a+h)-q(a)-A(h)}{|h|} = \frac{\langle h, Bh \rangle}{|h|}$$
   根据之前的分析，当$h\rightarrow 0$时这个式子的极限为0，完全满足全导数的定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者illegalsh