Hatcher代数拓扑习题0.26中命题0.18推广的拓扑细节疑问

我最近在啃Hatcher《代数拓扑》里的习题0.26，前面那部分——证明如果配对$(X,A)$具有同伦扩张性质，就能把收缩映射$r:X\times I\rightarrow Y=X\times{0}\cup A\times I$升级为形变收缩——我已经搞明白了。但习题最后要求把命题0.18的证明推广到$(X,A)$的情况，这就把我难住了，毕竟原命题的证明是针对CW复形给出的，我实在摸不清这里的拓扑细节。

先回忆下命题0.18的证明思路：给定两个同伦的映射$f,g:A\rightarrow B$，它们的同伦是$F:A\times I\rightarrow B$，我们构造粘接空间$(X\times I)\cup_F B$。原证明里用了$X\times I$到$Y$的形变收缩，来得到$(X\times I)\cup_F B$到某个子空间$Z$的形变收缩。但我就是搞不懂：为什么这个$Z$和$X\cup_f B$同胚？

我画了个交换图来梳理关系：
$$\require{AMScd}
\begin{CD}
X\sqcup B @>{i}>> (X\times I)\sqcup B\
@VVV @VVqV \
X\cup_f B @>>> Z\subset (X\times I)\cup_F B
\end{CD}$$

要让底部的箭头是同胚，就得证明$qi$是商映射。也就是说，对$Z$中的任意子集$C$，如果$(qi)^{{-1}(C)$是闭集，那么$C$在$Z$中也得是闭集。拆解一下这个条件：$q}{-1}(C)=S\sqcup T\subset (X\times I)\sqcup B$，我需要找到$X\times I$中的闭集$K$，使得$K\cap Y=S$。

我把$S$拆成了两部分：$S_0=S\cap (X\times{0})$（根据假设，$S_0$在$X\times I$中是闭的），还有$F^{-1}(T)$（这部分在$A\times I$中是闭的）。直觉上$K=r^{-1}(S)$是个自然的选择，但这要求$S$在$Y$中是闭集——可我完全看不出为什么$S_0\cup F^{-1}(T)$一定是$Y$中的闭集，这好像就是问题的关键所在。

我注意到Hatcher在勘误里（第一页底部）也提到了命题0.18证明中的拓扑微妙之处。其实我现在的思路和证明限制映射$q:Y\sqcup B\rightarrow Z$是商映射的思路很像，但那个情况里$S$在$Y$中是闭的是已知条件，所以简单很多。

所以我想请教：如果不假设$A$是闭集，命题0.18的证明还能成立吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Steve D