自由A-模扩张环中极大理想原像的极大性问题及相关群环结论的证明问询

嘿各位，我现在碰到一个环论相关的问题，想跟大家请教下：

先明确已知前提：

假设$A, B$是含单位元的交换环，且存在单射环同态 $A \hookrightarrow B$。

我现在想搞清楚下面这个命题是否成立：

如果$B$作为$A$-模是自由的，那么$B$中任意一个极大理想在$A$中的原像，都是$A$中的极大理想。

说下我的提问动机：我正试图证明一个关于群环的结论——对于局部环$R$上的任意群$G$，群环$R[G]$中的任意极大理想都包含$1\cdot \mathfrak{m}_R$，其中$\mathfrak{m}_R$是$R$的唯一极大理想。

我自己的初步思路是：$R[G]$作为$R$-模显然是自由的（基就是群$G$的所有元素），如果前面那个关于自由模扩张的命题成立，那$R[G]$的极大理想在$R$中的原像就应该是$R$的极大理想$\mathfrak{m}_R$，这样$1\cdot \mathfrak{m}_R$自然就包含在该极大理想里了。但目前我不确定前面的核心命题是否正确，所以想请大家帮忙验证或者给出推导思路~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adelhart