关于非幺半范畴及幺半性相关的技术疑问

嘿，我来帮你理清这些问题，你提的点其实都是初学幺半范畴时很容易困惑的地方，完全不是思路错了，只是平时接触的例子可能太偏向常见的幺半范畴而已～

1. 有没有非幺半范畴？当然有！ #

你之所以没立刻想到，大概率是因为平时常接触的范畴（比如集合范畴Set、群范畴Grp、向量空间范畴Vect）都是自带幺半结构的，但其实很多范畴天生没有（或者说找不到自然的）幺半结构：

• 偏序集构成的范畴：比如取所有正整数按“整除”关系构成的范畴（对象是正整数，态射是a→b当且仅当a整除b），这个范畴里就没有自然的张量积能满足幺半范畴的公理——你没法找到一个二元操作和单位元，同时满足结合律、单位元的泛性质。
• 有限集的单射范畴：对象是有限集，态射是单射函数。这个范畴里既没有合适的单位对象，也没法定义出符合幺半公理的张量积结构。
• 群的真子群构成的范畴：对象是某个群的所有真子群，态射是群嵌入。同样找不到能满足幺半范畴所有要求的张量积结构。

2. 幺半性确实是范畴的附加结构，你的拓扑类比非常准确！ #

完全没错，就像给一个集合赋予拓扑结构才成为拓扑空间一样，一个范畴本身只是满足“对象+态射+复合公理”的系统，而幺半范畴需要额外加装一套完整结构：

• 一个二元函子⊗（也就是你说的张量积映射，要同时作用在对象和态射上）；
• 一个单位对象I；
• 三组自然同构：结合子（(A⊗B)⊗C ≅ A⊗(B⊗C)）、左单位子（I⊗A ≅ A）、右单位子（A⊗I ≅ A），而且这些同构还要满足协调条件，确保各种组合的同构逻辑一致。
  更有意思的是，同一个范畴可以有多种不同的幺半结构：比如Set范畴，既可以用笛卡尔积作为⊗（单位元是单元素集），也可以用不交并作为⊗（单位元是空集），这两种都是合法的幺半结构。

3. 范畴中二元乘积不一定总存在；存在的话，乘积函子可以作为张量积 #

• 乘积的存在性：不是所有范畴都有任意二元乘积。比如刚才提到的有限集单射范畴，取两个不同的单元素集，它们的乘积在这个范畴里不存在——因为乘积需要一个对象，加上两个单射分别指向这两个单元素集，但单元素集之间的单射只能是恒等映射，找不到满足乘积泛性质的对象。再比如偏序集范畴，如果两个元素没有下确界，那它们的乘积就不存在。
• 乘积作为张量积：如果一个范畴有所有二元乘积，而且存在终端对象（作为单位元），那么乘积函子确实可以作为幺半范畴的⊗，这种幺半范畴叫做笛卡尔幺半范畴。比如Set范畴用笛卡尔积、Grp范畴用直积，都是这种情况。但要注意，张量积的概念比乘积更宽泛——比如Vect范畴的线性张量积就不是笛卡尔积，它是另一种完全不同的幺半结构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shruti