关于经典不变量理论中二元型的权及GL(2)作用的疑问
嘿，这个问题问得特别到位——Olver书里的权的定义刚接触时确实容易绕，我来给你掰扯清楚：
首先得明确：非零权的形式不是你人为给原二元型重新定义GL(2)作用来的，而是这类对象本身在GL(2)的变量替换下，天然就会带有$(\alpha\delta-\beta\gamma)^m$的因子，这是它们的固有性质，和普通二元型（权0）的变换规律是平行的两类规则。
咱们先回顾权0的情况：你一开始接触的普通二元型（比如二次型$a_0x2+2a_1xy+a_2y2$）属于权0，它们满足$Q(x,y)=\bar{Q}(\bar{x},\bar{y})$——变换后的形式代入变量替换式，完全等于原形式，没有额外的行列式因子。
那非零权的对象是什么呢？它们大多是从二元型衍生出来的协变量、不变量，这些对象的“变换行为”和原二元型不同，自带行列式幂次的缩放。
举个最直观的权2例子：二次二元型的判别式。
比如对二次型$Q(x,y)=a_0x2+2a_1xy+a_2y2$，它的判别式是$\Delta=a_1^2 - a_0a_2$。现在咱们验证它的权：
当做变量替换$\bar{x}=\alpha x+\beta y$，$\bar{y}=\gamma x+\delta y$，变换矩阵的行列式$\det M=\alpha\delta-\beta\gamma$。变换后的二次型系数$\bar{a}_0,\bar{a}_1,\bar{a}_2$会变成：
- $\bar{a}_0 = a_0\alpha^2 + 2a_1\alpha\gamma + a_2\gamma^2$
- $\bar{a}_1 = a_0\alpha\beta + a_1(\alpha\delta+\beta\gamma) + a_2\gamma\delta$
- $\bar{a}_2 = a_0\beta^2 + 2a_1\beta\delta + a_2\delta^2$
计算变换后的判别式$\bar{\Delta}=\bar{a}_1^2 - \bar{a}_0\bar{a}_2$，你会发现最终结果是$\bar{\Delta}=(\det M)^2 \cdot \Delta$，整理一下就是$\Delta = (\det M)^2 \cdot \bar{\Delta}'$（这里的$\bar{\Delta}'$对应Olver定义里的$\bar{Q}(\bar{x},\bar{y})$），完美符合权2的定义。
再补充一个例子：比如n次二元型对应的微分形式$\omega = \frac{\partial Q}{\partial x}dy - \frac{\partial Q}{\partial y}dx$，它在GL(2)变换下会变成$\bar{\omega}=(\det M)^{n-1}\omega$，当n=2时，这个微分形式的权就是1，也是非零权的典型对象。
总结一下核心点：
- 非零权对象是不变量理论里的衍生对象，不是原二元型改作用规则得到的；
- 权m描述的是对象在GL(2)变换下的缩放比例，和行列式的m次幂挂钩；
- 二次型的判别式就是最容易理解的权2例子。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alexey Uvarov
