关于极点处$\frac{1}{g(z)} \sim \frac{1}{z - z_0} \cdot \frac{1}{g'(z_0)}$的推导疑问

在课堂上我遇到了这样的结论：令 $F(z) := \frac{1}{g(z)}$，其中 $g(z) := 1-\log \frac{1}{1-z}$。那么 $z_0 := 1-e^{-1}$ 是一个极点，并且有
$$F(z) \sim \frac{1}{z - z_0} \cdot \frac{1}{g'(z_0)}.$$

我知道$F$是亚纯函数，上面的估计和$F(z)$的洛朗级数类似，但我不明白$\frac{1}{g'(z_0)}$是怎么来的。能不能请你解释一下？

编辑补充：我所了解的泰勒展开是这样的：
$$F(z) = \sum_{n \ge 0} (z-z_0)^n \frac{F^{(n)}(z)}{n!},$$
所以我既不理解$\frac{1}{z - z_0}$项的来源，也不清楚为什么会涉及到$g'(z_0)$，毕竟$F'(z) \ne g'(z)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者3nondatur