有限扩张L/K中L/Kₛ是否为纯不可分扩张的疑问及论证验证

嘿，我来帮你梳理这个问题和你的论证思路～

首先明确问题背景：给定有限扩张 (L/K)，我们定义 (K_s = {a \in L : a \text{ 是 } K\text{ 上的可分元}})，现在要判断 (L/K_s) 是不是纯不可分扩张。

先回顾纯不可分扩张的核心定义：一个代数扩张 (L/F) 被称为纯不可分的，当且仅当每一个属于 (L \setminus F) 的元素，都是 (F) 上的不可分元。

接下来看你的论证方向：你假设存在 (a \in L \setminus K_s) 是 (K_s) 上的可分元，然后试图推导矛盾。这个思路是对的，但中间的推导可以更严谨简洁，我帮你细化一下：

首先，(K_s) 本身是 (K) 在 (L) 中的可分闭包，也就是说 (K_s/K) 是可分扩张（这是显然的，因为 (K_s) 里的所有元素都是 (K) 上的可分元）。

现在假设存在 (a \in L \setminus K_s)，且 (a) 在 (K_s) 上可分，那么根据可分扩张的传递性：如果 (F/E) 可分，(E/K) 可分，那么 (F/K) 也可分。这里 (K_s(a)/K_s) 是可分扩张（因为 (a) 在 (K_s) 上可分），而 (K_s/K) 可分，所以 (K_s(a)/K) 必然是可分扩张——这就意味着 (a) 是 (K) 上的可分元，那 (a) 必须属于 (K_s)，这和我们假设的 (a \in L \setminus K_s) 直接矛盾！

你之前提到的 ((K_s)_s(a^p)=(K_s)_s(a)) 推导其实有点绕了，用可分扩张的传递性就能直接戳破假设的矛盾点。

另外补充一下：这个结论在特征0的域上也成立，因为特征0时所有代数扩张都是可分的，所以 (K_s = L)，此时 (L/K_s) 是平凡扩张，空真命题（没有 (L \setminus K_s) 的元素需要验证），自然满足纯不可分的定义。

所以你的核心结论是对的，(L/K_s) 确实是纯不可分扩张，只是论证过程可以更直接清晰～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wanymose