正方形及中心上的随机游走问题：求解首次到达中心的概率Pₙ
嘿，我来帮你理清这个问题！你提到用5x5矩阵太麻烦，其实利用对称性可以大幅简化计算——四个角落是完全等价的，我们根本不需要区分它们，只需要把状态分成两类：角落状态（记为C）和中心状态（记为O），这样问题就变成了简单的两状态马尔可夫链，完全不用复杂矩阵运算。
(1) 计算Pₙ
首先明确移动规则：
- 从任意角落出发，下一步有3个可选方向：两个相邻角落、一个中心，每个方向概率都是$\frac{1}{3}$；
- 我们只关心首次到达中心的情况，所以只要Alfred还没到过中心，他就一直在角落之间移动。
定义两个辅助量：
- $a_n$：第n步时，Alfred在角落且之前从未到达过中心的概率；
- $P_n$：第n步首次到达中心的概率。
初始状态：n=0时，Alfred在角落A，还没移动过，所以$a_0=1$，$P_0=0$（还没走不可能到达中心）。
递推关系：
- 要在第n步首次到达中心，必须第n-1步还在角落（且没到过中心），然后下一步走到中心。所以：
$$P_n = a_{n-1} \times \frac{1}{3}$$ - 要在第n步仍处于角落且没到过中心，必须第n-1步在角落，然后下一步走到另一个角落（没走到中心）。从角落走到角落的概率是$\frac{2}{3}$，所以：
$$a_n = a_{n-1} \times \frac{2}{3}$$
由递推可得$a_n = (\frac{2}{3})^n$，代入$P_n$的公式：
$$P_n = \frac{1}{3} \times (\frac{2}{3})^{n-1} \quad (n \geq 1)$$
当n=0时，$P_0=0$。
验证一下：n=1时，第一步直接走到中心的概率是$\frac{1}{3}$，符合公式；n=2时，先走到角落再走到中心的概率是$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$，也和公式一致，完全没问题。
(2) Pₙ与Sₙ的关系及Sₙ的计算
你已经说对了，$S_n$是n步内至少到达一次中心的概率，而$P_k$是第k步首次到达中心的概率——这些首次到达的事件是互斥的（不可能同时在第k步和第m步首次到达），所以$S_n$就是前n个$P_k$的和：
$$S_n = \sum_{k=1}^n P_k$$
这是一个等比数列求和：首项$P_1=\frac{1}{3}$，公比$r=\frac{2}{3}$，共n项。用等比数列求和公式：
$$S_n = \frac{1}{3} \times \frac{1 - (\frac{2}{3})^n}{1 - \frac{2}{3}} = 1 - (\frac{2}{3})^n$$
验证一下：n=2时，$S_2=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}=\frac{5}{9}$，而$1-(\frac{2}{3})^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$，完全匹配。
(3) 计算$\lim\limits_{n \to \infty} S_n$
当n趋向于无穷大时，$(\frac{2}{3})^n$会趋近于0（因为底数小于1），所以：
$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - (\frac{2}{3})^n\right) = 1$$
这意味着Alfred最终几乎必然会走到中心，概率是1。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者anton
