子空间基求解结果的疑问咨询

我在线性代数课上解决了一个空间基的问题，但我（还有我问过的所有人）都没完全搞懂结果的含义。我已经琢磨好几次了，还是没太明白。接下来我会把验证过的解题过程和得到的答案详细列出来，希望有人能帮我解答疑问。

问题背景 #

给定集合 ( S = {v_1, v_2, v_3, v_4, v_5} )，其中：

• ( v_1 = (1, 1, 0, -1) )
• ( v_2 = (0, 1, 2, 1) )
• ( v_3 = (1, 0, 1, -1) )
• ( v_4 = (1, 1, -6, -3) )
• ( v_5 = (-1, -5, 1, 0) )

要求找出子空间 ( W = \text{span } S ) 的一组基。

我的解题过程 #

我学到的方法是用高斯-约旦消元法来判断线性无关性和生成集：

首先构造增广矩阵：
$$
\begin{matrix}
1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & a \
1 & 1 & 0 & 1 & -5 & 0 & b \
0 & 2 & 1 & -6 & 1 & 0 & c \
-1 & 1 & -1 & -3 & 0 & 0 & d \
\end{matrix}
$$

经过一系列消元操作后，得到行最简形：
$$
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 3 & -4 & 0 & (a + 2b - c)/3 \
0 & 1 & 0 & -2 & -1 & 0 & (-a + b + c)/3 \
0 & 0 & 1 & -2 & 3 & 0 & (2a - 2b + c)/3 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (4a - b - c + 3d)/3 \
\end{matrix}
$$

从这个结果里，我知道主元所在的前三列对应的向量 ( {v_1, v_2, v_3} ) 是子空间 ( W = \text{span } S ) 的基。为了验证基的两个条件，我又构造了下面的矩阵：
$$
\begin{matrix}
1 & 0 & 1 & 0 & a \
1 & 1 & 0 & 0 & b \
0 & 2 & 1 & 0 & c \
-1 & 1 & -1 & 0 & d \
\end{matrix}
$$

消元后得到：
$$
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 & (a + 2b - c)/3 \
0 & 1 & 0 & 0 & (-a + b + c)/3 \
0 & 0 & 1 & 0 & (2a - 2b + c)/3 \
0 & 0 & 0 & 0 & (4a - b - c + 3d)/3 \
\end{matrix}
$$

我的疑问 #

我能预料到最后一行会是零行，但还是有几个地方搞不懂：

• i) 为什么最后一行是零行？
• ii) ( {v_1, v_2, v_3} ) 到底是不是 ( W ) 的基？
• iii) 如果它是基的话，是不是说用这组基的线性组合表示的向量，第四个坐标必须为零才能属于子空间 ( W )？还是说不是这样的？
• iv) 是不是意味着 ( W ) 是 ( \mathbb{R}^4 ) 的子空间，那些用基的线性组合表示但第四个坐标非零的向量，属于 ( \mathbb{R}^4 ) 但不属于 ( W )？

我刚接触这个知识点，有一堆困惑，希望有人能给我通俗易懂的解释，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dendroaspispolylepis