反线性映射空间$ ext{Hom}_\bar{\mathbb{C}}(V,W)$的向量空间维数计算问题

嘿，我来帮你把这个反线性映射空间的维数问题理清楚～其实思路和线性映射空间的维数计算很像，甚至可以通过转化把它变成我们熟悉的线性映射问题来解决，下面一步步说：

第一步：选基，用基刻画反线性映射 #

假设$V$是$n$维复向量空间，取它的一组复基${v_1, v_2, ..., v_n}$；$W$是$m$维复向量空间，取它的一组复基${w_1, w_2, ..., w_m}$。

对于任意反线性映射$f \in \text{Hom}_\bar{\mathbb{C}}(V,W)$，根据反线性的定义：

• 对任意$x = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \in V$，有$f(x) = \sum_{i=1}^n \bar{\lambda}_i f(v_i)$（加法保持，数乘取共轭）
• 而每个$f(v_i)$都可以用$W$的基展开：$f(v_i) = \sum_{j=1}^m a_{ji} w_j$，其中$a_{ji} \in \mathbb{C}$

第二步：建立映射与矩阵的一一对应 #

现在，每个反线性映射$f$都唯一对应一个$m \times n$的复矩阵$A = (a_{ji})$——矩阵的第$i$列就是$f(v_i)$在$W$基下的系数。反过来，任意给定一个$m \times n$复矩阵，我们都可以按上面的方式定义一个反线性映射：先指定基向量的像，再通过反线性扩展到整个$V$。

接下来验证这个对应是复向量空间的同构：

• 加法：如果$f$对应矩阵$A$，$g$对应矩阵$B$，那么$f+g$对应$A+B$，因为$(f+g)(v_i) = f(v_i)+g(v_i)$，系数直接相加，符合反线性映射加法的定义。
• 数乘：对任意$\mu \in \mathbb{C}$，$\mu f$对应$\mu A$，因为$(\mu f)(v_i) = \mu f(v_i)$，相当于把$f(v_i)$的系数都乘以$\mu$，符合复向量空间数乘的规则。
• 双射：显然每个矩阵对应唯一的反线性映射，每个反线性映射也对应唯一的矩阵，所以是双射。

既然$\text{Hom}_\bar{\mathbb{C}}(V,W)$和$m \times n$复矩阵空间同构，而后者的维数是$m \times n = \dim V \cdot \dim W$，所以反线性映射空间的维数就是$\dim V \cdot \dim W$。

另一种思路：转化为线性映射空间 #

我们还可以通过“复共轭空间”的技巧简化问题：定义$\bar{V}$为和$V$作为加法群完全相同的空间，但数乘运算定义为$\lambda \cdot x = \bar{\lambda}x$（原$V$的数乘是$\lambda x$）。这时你会发现：

• $\bar{V}$作为复向量空间的维数和$V$一样，因为原$V$的基仍然是$\bar{V}$的基。
• 反线性映射$f: V \to W$ 等价于线性映射$\bar{f}: \bar{V} \to W$（把$\bar{V}$里的数乘对应到$W$的普通数乘）。

而线性映射空间$\text{Hom}\mathbb{C}(\bar{V}, W)$的维数是$\dim \bar{V} \cdot \dim W = \dim V \cdot \dim W$，自然就得到了$\text{Hom}\bar{\mathbb{C}}(V,W)$的维数。

对应你提到的一维情况 #

当$V=W=\mathbb{C}$时，$\dim V \cdot \dim W = 1 \times 1 = 1$，正好和你观察到的“复共轭映射生成整个空间”一致，完美验证了这个结论～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Luigi Traino