关于非负黎曼可积函数积分非负性证明的疑问

大家好，我遇到了一个关于黎曼积分的小问题，有点绕不过来，希望能得到各位的帮助🙏

说明：我用 $P_n$ 表示区间 $[a,b]$ 的划分，$m_i$ 代表函数 $f(x)$ 在子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上的下确界（之前笔误写成了上确界，这里纠正下）。

问题：若函数 $f : [a, b] → \mathbb{R}$ 有界、黎曼可积，且对任意 $x \in [a, b]$ 都满足 $f(x) \geqslant 0$，证明 $\int_a^b f(x) ,dx \geqslant 0$。

我目前的思路是：因为 $f(x)$ 非负，所以每个子区间上的下确界 $m_i$ 肯定都大于等于0。那下积分 $L(P_n,f) = \sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1})$ 要大于等于0的话，是不是需要 $\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \geqslant 0$ 这个前提？

如果能先证明 $L(P_n,f) \geqslant 0$，那后面推导 $\int_a^b f(x) ,dx \geqslant 0$ 就很顺了，这正是我卡壳的地方。

但题目里只给了函数有界、可积、非负这些条件，我怎么确定 $\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \geqslant 0$ 一定成立呢？比如如果函数是递增的我能理解，但现在没有这个条件啊。

有没有大佬能给点思路？谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者isobariccc