使用Eigen的SelfAdjointEigenSolver求解特征问题时特征向量异常

我尝试用Eigen库的SelfAdjointEigenSolver求解特征问题，特征值结果正常，但特征向量似乎不符合特征问题定义。按特征问题定义，计算vct2 = matrix * vct后，vct2应该等于λ*vct（λ为对应特征值），但打印vct2与vct对应元素的比值时，结果并非恒定值，比如某次输出为：9.89816 4.10161 -0.765191 -2.27482 3.58762 0.710447 -4.79855 -2.88263 -3.05201 -3.05561。

问题复现代码 #

#include<iostream>
#include <Eigen/Dense>
using Eigen::MatrixXd;
using Eigen::SelfAdjointEigenSolver;
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main(int argc, char **argv)
{
    SelfAdjointEigenSolver<MatrixXd> es;

        MatrixXd matrix=MatrixXd::Random(10,10);
        es.compute(matrix);
        double E0=es.eigenvalues()[0];
        VectorXd vct=es.eigenvectors().col(0);
        VectorXd vct2=matrix*vct;
        for(int i=0;i<10;i++)
        {
            cout<<vct2(i)/vct(i)<<" ";
        }
    return 0;
}

更新与排查方向 #

无法通过简单复现方案重现问题，推测问题并非来自Eigen本身，而是自身使用的矩阵存在问题。参考非自伴随矩阵的相关案例，怀疑需要检查矩阵是否为自伴随矩阵（理论上应该满足，但暂未找到其他原因）。

对称实矩阵测试代码（无异常） #

#include<iostream>
#include <Eigen/Dense>
using Eigen::MatrixXd;
using Eigen::SelfAdjointEigenSolver;
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main(int argc, char** argv)
{
    SelfAdjointEigenSolver<MatrixXd> es;

    MatrixXd a = MatrixXd::Random(30, 30);
    MatrixXd matrix = a + a.transpose();
    es.compute(matrix);
    double E0 = es.eigenvalues()[0];
    VectorXd vct = es.eigenvectors().col(0);
    VectorXd vct2 = matrix * vct;
    for (int i = 0; i < 10; i++)
    {
        cout << vct2(i) / vct(i) << " ";
    }
    return 0;
}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者martes