如何对标准化变量建模所得标准误进行逆变换以用于绘图？

我用scale()函数标准化数据后构建了线性混合模型，代码如下：

data <- data.frame(
      X1 = c(1.2, 2.3, 3.1, 4.8, 5.5, 4.6),
      X2 = c(10.4, 9.3, 8.2, 7.1, 6.0, 5.2),
      X3 = c(5.5, 6.6, 7.7, 8.8, 9.9, 12.0),
      rand = c("A", "A", "B", "B", "C", "C")
    )    

data = data %>% 
      mutate(across(X1:X2, ~ scale(.), .names = "scaled_{.col}"))    

model = lmerTest::lmer(X3 ~ scaled_X1 + scaled_X2 + (1|rand), data = data)
summary(model)

我希望将模型输出的估计值逆变换回原始尺度后绘图，提升结果可读性。已知系数可通过除以对应变量的标准差实现逆变换，推导过程如下：
标准化公式：$X_S = \frac{X_0 - \text{mean}}{sd}$
逆变换后原始尺度的预测公式：$Y = \frac{B}{sd} \times X_0 + \left(-\frac{B \times \text{mean}}{sd} + A\right)$
其中$B$是标准化变量的系数，$A$是截距项。

但我不清楚如何对summary(model)输出的标准误进行逆变换。虽然有观点认为这种变换无意义，但保留标准化值绘图会极大降低可读性。

解决方法 #

1. 标准误的逆变换逻辑 #

标准化是线性变换，系数的标准误（即系数估计值的标准差）可通过相同的缩放比例逆变换：

• 设标准化系数的标准误为$SE_S$
• 原始尺度下的标准误$SE_0 = \frac{SE_S}{sd(X)}$
  原理：线性变换$B_0 = \frac{B_S}{sd(X)}$，方差满足$\text{Var}(B_0) = \frac{\text{Var}(B_S)}{sd(X)^2}$，因此标准差（标准误）就是$\frac{SE_S}{sd(X)}$。

2. R中实现逆变换的代码示例 #

先提取模型系数、标准误，同时获取原始变量的均值和标准差：

# 提取原始变量的均值和标准差
var_stats <- data %>% 
  summarise(across(X1:X2, list(mean = mean, sd = sd))) %>% 
  pivot_longer(everything(), names_sep = "_", names_to = c("var", "stat")) %>% 
  pivot_wider(names_from = stat, values_from = value)

# 提取模型的系数和标准误
model_coefs <- summary(model)$coefficients %>% 
  as.data.frame() %>% 
  rownames_to_column("term") %>% 
  filter(term != "(Intercept)") %>% 
  mutate(var = str_remove(term, "scaled_"))

# 合并计算逆变换后的系数和标准误
original_scale_coefs <- model_coefs %>% 
  left_join(var_stats, by = "var") %>% 
  mutate(
    original_estimate = Estimate / sd,
    original_se = `Std. Error` / sd,
    # 可选：计算95%置信区间
    original_lower = original_estimate - 1.96 * original_se,
    original_upper = original_estimate + 1.96 * original_se
  )

3. 基于原始尺度系数绘图示例 #

用ggplot2绘制系数森林图：

library(ggplot2)

ggplot(original_scale_coefs, aes(x = original_estimate, y = var)) +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed", color = "gray50") +
  geom_point(size = 3) +
  geom_errorbarh(aes(xmin = original_lower, xmax = original_upper), height = 0.2) +
  labs(x = "原始尺度下的系数估计值（95%置信区间）", y = "自变量") +
  theme_minimal()

4. 截距项的逆变换说明 #

如果需要将截距项转换到原始尺度，公式为：
$A_0 = A_S + \sum \left(\frac{B_S \times \text{mean}(X)}{sd(X)}\right)$
其中$A_S$是模型输出的截距项，求和针对所有标准化自变量。这个截距对应所有原始自变量取均值时的预测值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Maxime Buron