指数级数变换逆问题：光滑周期序列{x_j}的解析近似方法探索
我现在面临这样一个问题：给定如下定义的变换关系：
$$
y_j= \sum_{k=0}^{L} \frac{e{-\sum_{i=-k}k(k-|i|)x_{j+i}}-e{-\sum_{i=-k}k(k+1-|i|)x_{j+i}}}{\sum_{i=-k}^k x_{j+i}}\tag{1}
$$
其中 $1\leq j \leq L$，${y_j}$是光滑的周期序列，我想找到周期序列${x_j}$的解析近似解，尤其是当$L$较大的场景。
常数序列的基准近似
先从简单情况入手：当所有$y_j=y$（即常数序列）时，我推导出了一个简洁的近似逆关系：
$$
y\simeq \frac12\sqrt{\frac{\pi}{x}}\hspace{2mm}\Leftrightarrow\hspace{2mm} x\simeq\frac{\pi}{4}y^{-2}\tag{2}
$$
这里自然要求所有$x_j=x$也是常数。
非常数序列的初步尝试与尺度局限
有意思的是，这个简单的近似（2）对**非常数但光滑的$y_j\in[0,50]$**居然有不错的效果。比如我用一个400点的初始序列$x_j=10^{-4}x e^{\sin x}$，先通过（1）变换得到${y_j}$，再用（2）反推${x_j}$的估计值。对比初始序列和估计序列的图像，能发现（2）的变换居然能抓住原序列的整体趋势。
但这个近似有个致命的局限：当$y_j$的尺度变化时，效果会急剧恶化。比如如果原$x_j$对应的$y_j$放大5倍，用（2）得到的估计值不仅和真实$x_j$偏差极大，连还原出的$y_j$也和目标序列差很多。
我猜测可以通过引入$x_j$的局部行为（比如二阶导数）或者sigmoid类变换来修正尺度问题，但目前还没摸透核心的修正机制。
进一步观察：函数变换的尝试
我把（1）的变换记为$R({x_j}) := y_j$，一个朴素的思路是尝试用$x_j=R({f(y_j)})$来构造逆变换，其中$f$是某个单变量函数。
我尝试了$f(y)=y2$，发现$R({y_j2})$的结果和（2）的近似效果非常接近——虽然离完美还原还有距离，但这个现象很有意思：当$y_j$较大时，$R({y_j})\simeq 1/y_j$，这或许能给我们构造更优的$f$提供线索，比如根据$y_j$的大小来调整$f$的形式？
数值方法的辅助启发
虽然核心目标是解析近似，但数值方法能帮我理解变换的整体动态。我尝试了梯度下降和BFGS算法，发现梯度下降能快速得到${x_j}$的估计值，而且能保证估计值非负（这符合我需要的$x_j>0$的要求）。
从收敛的图像来看，数值方法得到的估计序列能保留原序列的单调性，看起来像是某种简单的尺度调整——这让我觉得，或许存在一个局部有效的解析变换，能达到类似数值方法的效果。
另外还有个值得思考的问题：（1）在实数域上的解有多少个？也就是逆变换的唯一性问题，这对寻找解析近似也很关键。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者sam wolfe
