曲线$y^2=x^3$与$x^2=y^3$在原点相交重数计算的矛盾问题求助

各位大佬好！我最近在计算两条曲线在原点的相交重数时，遇到了一个怎么也捋不清的矛盾，想请大家帮忙找找问题出在哪儿！

首先，我用参数化的方法得到的结果是重数4：

• 把第一条曲线$y^2=x3$用参数$t \mapsto (t^2,t3)$来表示，代入第二条曲线$x^2=y3$后，得到$t^4=t9$，整理一下就是$t^4(t5-1)=0$。这里$t=0$对应的根重数是4，所以按这个思路，两条曲线在原点的相交重数应该是4。

但当我尝试用代数几何里局部环的方法计算时，结果却变成了3，步骤如下：

1. 首先有同构：$\mathbb{K}[x,y]/(y^2-x3) \cong \mathbb{K}[t^2,t3]$
2. 接着计算商环：
   $$\mathbb{K}[x,y]/(y^2-x3,x^2-y3) \cong \mathbb{K}[t^2,t3]/(t^4-t9) = \mathbb{K}[t^2,t3]/(t^4(1-t5))$$
3. 然后在原点$P$处局部化，此时$1-t^5$是单位元，所以局部化后的环应该是：
   $$\mathbb{K}[x,y]_P/(y^2-x3,x^2-y3) \cong \mathbb{K}[t^2,t3]/(t^4)$$
4. 可这个环作为$\mathbb{K}$上的向量空间，维度是3（元素都形如$a+bt^2+ct3$，其中$a,b,c \in \mathbb{K}$），按相交重数的定义，这对应的重数应该是3，和之前参数化得到的4完全矛盾了。

我翻来覆去检查了好几遍步骤，还是找不到哪里出错了，麻烦各位帮忙看看问题到底出在哪儿呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Harnak