中值定理（M.V.T.）应用下的等式证明问题求助

嘿，我来帮你搞定这个问题！你目前通过拉格朗日中值定理得到了两个不同的$\lambda_1$和$\lambda_2$，这是很自然的中间结果，但我们可以通过构造一个合适的辅助函数，把它们合并成同一个$\lambda$，正好满足题目要求。

我们先聚焦要证明的等式左边：
$$\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h}$$

首先构造辅助函数：
$$F(x) = f(a+x) - 2f(a) + f(a-x)$$

先验证这个函数满足拉格朗日中值定理的条件：

• 因为$f$在$[a-h,a+h]$上连续，对于$x\in[0,h]$，$a+x\in[a,a+h]$，$a-x\in[a-h,a]$，所以$f(a+x)$和$f(a-x)$都连续，因此$F(x)$在$[0,h]$上连续；
• 又因为$f'(x)$在$(a-h,a+h)$内存在，对于$x\in(0,h)$，$a+x\in(a,a+h)$，$a-x\in(a-h,a)$，所以$f'(a+x)$和$f'(a-x)$都存在，对$F(x)$求导可得：
  $$F'(x) = f'(a+x) - f'(a-x)$$
  因此$F(x)$在$(0,h)$内可导。

现在对$F(x)$在区间$[0,h]$上应用拉格朗日中值定理：存在$\lambda\in(0,1)$，使得
$$F(h) - F(0) = F'(\lambda h) \cdot (h - 0)$$

计算$F(0)$和$F(h)$：

• $F(0) = f(a+0) - 2f(a) + f(a-0) = f(a) - 2f(a) + f(a) = 0$
• $F(h) = f(a+h) - 2f(a) + f(a-h)$

把这些代入中值定理的等式：
$$f(a+h) - 2f(a) + f(a-h) = \left[f'(a+\lambda h) - f'(a-\lambda h)\right] \cdot h$$

最后两边同时除以$h$，就得到了题目要求的等式：
$$\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h}=f'(a+ \lambda h)-f'(a-\lambda h)$$
其中$0 \lt \lambda \lt 1$。

这样就完美解决了你遇到的“两个不同$\lambda$”的问题，通过构造辅助函数，我们直接得到了统一的$\lambda$值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JuanC