关于由实数集全体单点集生成的σ-代数的理解疑问

我看到这里有一些帖子回答过相关问题，但我碰到了一个和现有解答不一样的特定情况，我感觉我的问题根源在于没搞明白$\sigma({x}, x \in \mathbb{R})$到底代表什么。

先给大家看一下我看到的那个解答内容：

记$\Sigma = \sigma({x}, x \in \mathbb{R})$。设$\mathcal{A}$是由下式定义的σ-代数：
$$\mathcal{A} = {A \subset \mathbb{R}: A \text{ 是可数集或 } A^c \text{ 是可数集}}$$
显然${x} \in \mathcal{A}$，因此$\Sigma \subset \mathcal{A}$。

我完全理解不了这一步。$\Sigma$是由不可数集（也就是实数集里的所有单点集）生成的σ-代数，它本身应该是不可数的吧？那$\Sigma^c$是可数的？而且为什么从${x} \in \mathcal{A}$就能推出$\Sigma \subset \mathcal{A}$呢？

这个解答接着往下说：

另一方面，如果$A \in \mathcal{A}$，那么要么$A$可数，要么$A^c$可数。不失一般性，假设$A$可数，那么$A$是单点集的可数并，因此$A\in \Sigma$，同时$A^c \in \Sigma$。这意味着$\mathcal{A} \subset \Sigma$。

这里说的$\mathcal{A} \subset \Sigma$我也转不过弯来。

我感觉我对σ-代数的基础理解就有问题。因为${ { x } : x \in \mathbb{R} }$是一个不可数集，由它生成的σ-代数也应该是不可数的吧？我实在想不通为什么会有其他可能。另外，这个生成的σ-代数里是不是包含单点集的有限并呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HMPtwo