伴随等价定义的动机探讨及相关技术问询
最近我一直在说服自己，范畴之间等价的最自然定义应该是伴随等价，而不只是普通的等价。当然，任何范畴等价都能“升级”成伴随等价，但从概念层面来说，很多时候伴随等价才是更自然的选择。
伴随等价相对普通等价的优势
伴随等价作为等价概念，有这些比普通等价更出色的地方：
- 对于函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$，任何能和它构成伴随等价的函子 $G:\mathcal{D} \to\mathcal{C}$ 都是唯一到唯一同构的（其实这个性质对任何伴随函子对都成立）。但如果只是要求 $F,G$ 构成普通等价，那这个同构不一定是唯一的。
- 当 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 是完全忠实且本质满射时，构造 $G: \mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 使 $F,G$ 成为等价的唯一合理方式，最终得到的就是伴随等价。
从2-范畴$\mathrm{Cat}$结构出发的思考
我感觉这个现象背后是（局部）小范畴构成的2-范畴 $\mathrm{Cat}$ 的结构：非伴随等价是从垂直复合角度看的等价，而伴随函子的三角恒等式保证了 $F,G$ 是从水平复合角度看的等价。
不过这个解释还不够令人满意。如果我想直白地写出 $F:\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 和 $G$ 作为“水平逆”的含义，我会写下：存在自然变换
$$\eta: id_{\mathcal{C}}\Rightarrow GF ,\overline{\eta}:GF \Rightarrow id_{\mathcal{C}}$$
$$\varepsilon: FG \Rightarrow id_{\mathcal{D}} ,\overline{\varepsilon}: id_{\mathcal{D}}\Rightarrow FG$$
满足
$$\overline{\eta} \ast\eta =\eta \ast\overline{\eta} = id_{\mathcal{C}}$$
$$\overline{\varepsilon} \ast\varepsilon =\varepsilon \ast\overline{\varepsilon} = id_{\mathcal{D}}$$
但展开这些定义后，其实就是
$$\eta_x \circ \overline{\eta}_x=id_x, \varepsilon_x \circ \overline{\varepsilon}_x=id_x $$
这本质上还是普通等价。
我的疑问
- 我认为伴随等价才是“正确”的等价概念，而非普通等价，这个想法对吗？
- 如果是对的，这最终是因为 $\mathrm{Cat}$ 的2-范畴结构吗？
- 在这个语境下，该如何动机化三角恒等式？或许我们希望 $F,G$ 满足很多法则，而 $\eta,\varepsilon$ 是同构且满足三角恒等式，就足以保证所有这些法则成立（就像双范畴中的五边形恒等式，是保证无穷多个结合律成立的充分条件那样）
注：这里我用 $\circ$ 表示垂直复合，$\ast$ 表示水平复合。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者ducksforever
