自由模中单射自同态的基像构成新基的精确条件问询（含非交换环情形）

这是之前一个问题的后续讨论。假设$R$是未必具有IBN（不变基数）性质的幺环，$M$是带有基$B$的非平凡左自由$R$-模。

我想请教：在什么精确条件下，$M$的每一个单射自同态$h: M\to M$的像集$h(B)$都能成为$M$的新基？

先分享我目前梳理出的一些结论：

有限生成自由模的已知结论 #

对于有限生成的左自由$R$-模$M$，我们有：

• 引理1：若$h:M\to M$是单射自同态，则$h(B)$是新基当且仅当$h$是满射（进而可逆）。

当$R$是幺交换环时，还能进一步得到：

• 引理2：幺交换环$R$上的有限生成左自由$R$-模$M$的自同态$h$是单射，当且仅当$h$对应的矩阵的行列式$\det(h)$是$R$中的非零因子。

基于这两个引理，我猜测以下命题可能成立：

交换环上的命题猜想 #

设$M$是幺交换环$R$上的非零有限生成左自由$R$-模，$B\subset M$是一组基。那么，$M$的每一个单射自同态作用在$B$上的像都是$M$的基，当且仅当环$R$中的元素要么是单位，要么是零因子。

证明思路 #

• 必要性方向：任取单射自同态$h$，由引理2可知$\det(h)$是非零因子。如果$R$中元素只有单位和零因子，那么$\det(h)$必然是单位，从而$h$可逆；再由引理1，$h(B)$就是基。
• 充分性方向：若每个单射自同态$h$的像$h(B)$都是基，由引理1可知$h$可逆，因此$\det(h)$是单位。结合引理2，这意味着$R$中所有非零因子都是单位，也就是$R$的元素只有单位和零因子。$\square$

不过我现在卡在了非交换环的情形，不知道该怎么推导对应的条件，希望能得到大家的帮助！

更新补充 #

看到一条很有帮助的评论后发现，这个命题对无限生成的自由模显然不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user760