Brezis泛函分析习题6.15.3第(3)问证明正确性核查及其他证明方法咨询

我现在在做Brezis泛函分析里的一道习题，其中第(3)问是：

假设 $0 \in \rho(T)$，证明 $\sigma(T^{-1}) = \frac{1}{\sigma(T)}$（这里 $\frac{1}{\sigma(T)}$ 指集合 ${ \frac{1}{\lambda} \mid \lambda \in \sigma(T) }$）

我自己尝试写了一段证明，但不确定有没有细节错误，想请大家帮忙检查一下，同时也希望能看到其他的证明思路。

我的证明尝试： #

要证 $\sigma(T^{-1}) = \frac{1}{\sigma(T)}$，只需证明对任意非零实数 $\lambda$，有 $\lambda \in \sigma(T) \iff \frac{1}{\lambda} \in \sigma(T^{-1})$。进一步等价于证明：$T - \lambda I$ 不是双射 $\iff T^{-1} - \lambda^{-1} I$ 不是双射，也就是反过来证 $T - \lambda I$ 是双射 $\iff T^{-1} - \lambda^{-1} I$ 是双射。

已知 $0 \in \rho(T)$，所以 $T$ 是双射。任取 $u, v \in E$，我们有：
$$
\begin{align}
(T-\lambda I)u=v &\iff Tu = v+\lambda u \
&\iff u = T^{-1} v+ \lambda T^{-1} u \
&\iff (T^{-1} - \lambda^{-1} I)u = -\lambda^{-1} T^{-1} v,
\end{align}
$$
由此可得 $(T^{-1} - \lambda^{-1} I)u = -\lambda^{-1} T^{-1} (T-\lambda I)u$，进而推出 $T^{-1} - \lambda^{-1} I = -\lambda^{-1} T^{-1} (T-\lambda I)$。基于这个等式，就能得到双射性的等价关系，从而完成证明。

证明正确性分析 #

你的这个证明思路是完全正确的，推导过程里的每一步逻辑都很严谨：

1. 把集合相等转化为元素的等价性，这是处理集合等式问题的标准思路，非常清晰。
2. 从 $(T-\lambda I)u = v$ 开始的等价变形，每一步都是可逆的（因为 $T$ 是双射，$T^{-1}$ 存在且也是双射），所以等价关系成立。
3. 最后得到的算子等式 $T^{-1} - \lambda^{-1} I = -\lambda^{-1} T^{-1} (T-\lambda I)$ 是关键：
   • 如果 $T - \lambda I$ 是双射，那么它有有界逆算子（Banach空间上的双射有界线性算子的逆也是有界的，这是开映射定理的结论），而 $-\lambda^{-1} T^{-1}$ 也是双射（$\lambda \neq 0$，$T^{-1}$ 双射），所以两者的复合也是双射，即 $T^{-1} - \lambda^{-1} I$ 是双射。
   • 反过来，如果 $T^{-1} - \lambda^{-1} I$ 是双射，我们可以把等式变形为 $T - \lambda I = -\lambda T (T^{-1} - \lambda^{-1} I)$，同样，$-\lambda T$ 是双射，复合后 $T - \lambda I$ 也是双射。
     你可能没明确写出反向推导，但从等式的可逆性来看，逻辑是完整的，只是补充这部分能让证明更显完善。

其他证明思路 #

除了你的这种构造等价方程的方法，还有一种更直接利用谱定义的思路：

对于 $\mu \in \mathbb{R}$，我们分析 $\mu \in \sigma(T^{-1})$ 的条件：
$\mu \in \sigma(T^{-1})$ 当且仅当 $T^{-1} - \mu I$ 不可逆。

对 $T^{-1} - \mu I$ 做变形：
$$T^{-1} - \mu I = T^{-1}(I - \mu T) = -\mu T^{-1}(T - \frac{1}{\mu}I)$$
（这里要求 $\mu \neq 0$，而 $\mu=0$ 时，$T^{-1} - 0 \cdot I = T^{-1}$，它是可逆的，所以 $0 \notin \sigma(T^{-1})$；同时因为 $0 \in \rho(T)$，所以 $0 \notin \sigma(T)$，$\frac{1}{0}$ 无意义，符合集合 $\frac{1}{\sigma(T)}$ 不含0的情况）

现在，$T^{-1}$ 是可逆的，$-\mu$ 是非零常数（$\mu \neq 0$），所以 $T^{-1} - \mu I$ 不可逆当且仅当 $T - \frac{1}{\mu}I$ 不可逆，也就是当且仅当 $\frac{1}{\mu} \in \sigma(T)$，即 $\mu = \frac{1}{\lambda}$ 其中 $\lambda \in \sigma(T)$。

这就直接证明了 $\sigma(T^{-1}) = { \frac{1}{\lambda} \mid \lambda \in \sigma(T) }$，思路更简洁，直接利用了算子乘积的可逆性：Banach空间中，两个有界线性算子的乘积可逆当且仅当每个算子都可逆（可逆等价于双射）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akira