特征法求解非齐次一阶偏微分方程的通解及初始条件应用困惑求助

嗨，我在用特征线法求解偏微分方程的时候遇到了点卡壳，想请教大家。我需要解的方程是：

$$\begin{cases}\partial_xu +y^2\partial_yu = 2yu+y^2\ u(0,y)=y \end{cases}$$

我打算用特征线法，所以先写出了对应的特征方程组：

$$\begin{cases} \dot{x} = 1\\dot{y} = y^2\\dot{z} = 2yz+y^2\end{cases}$$

这里$z(t)=u(x(t),y(t))$。如果是齐次的偏微分方程，我能解出前两个方程，得到特征曲线满足：

$$x +\frac{1}{y}=c$$

对应的齐次方程$\partial_xu +y^2\partial_yu =0$的通解是：

$$u(x,y) = F\bigg(x+\frac{1}{y}\bigg)$$

但现在这个PDE是非齐次的，我得处理第三个方程$\dot{z} = 2yz+y^{2$。我知道这是个常微分方程，能用公式解，但问题来了——解完这个方程之后，我该怎么结合特征线来得到整个非齐次PDE的通解呢？还有，怎么应用初始条件$u(0,y)=y$（哦对了，我后来又有点混淆，是不是应该用$u(0,y)=y}2$？）来确定最终的解？这部分我完全搞不清，麻烦大家帮我梳理一下，非常感谢！

编辑补充：

1. 刚才提到的$u(x,y)=F\bigg(x+\frac{1}{y}\bigg)$并不是原非齐次PDE的解，它只对应齐次方程$\partial_xu +y^2\partial_yu =0$的通解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Turquoise Tilt