亚历山德罗夫-乌里松度量化定理的应用问询

相关定义 #

先明确几个关键概念，方便理解定理：

• 集合的星（Star）：对于集合$A$和开覆盖$\mathcal{U}$，定义 $\text{St}(A, \mathcal{U}) = \bigcup{U\in \mathcal{U} : U\cap A\neq\emptyset}$。
• 发展（Development）：指一列开覆盖$(\mathcal{U}n){n\in\mathbb{N}}$，满足对空间$X$里的每一个点$x$，$\text{St}(x, \mathcal{U}_n)$都能构成$x$的邻域基。
• 星加细（Star-refinement）：如果开覆盖$\mathcal{V}$满足集合族${\text{St}(V, \mathcal{V}) : V\in\mathcal{V}}$是$\mathcal{U}$的加细，那我们就说$\mathcal{V}$是$\mathcal{U}$的星加细。

亚历山德罗夫-乌里松度量化定理 #

定理：豪斯多夫空间$X$是可度量化的，当且仅当存在$X$的一个发展$(\mathcal{U}n){n\in\mathbb{N}}$，使得对所有$n\in\mathbb{N}$，$\mathcal{U}_{n+1}$都是$\mathcal{U}_n$的星加细。

关于定理应用的疑问 #

我一直没见过这个定理的实际应用，所以想问问：这个定理在拓扑学乃至整个数学领域到底有哪些应用呢？

已知的一个应用 #

我目前找到的一个应用是下面这个结论：

如果$X$是可度量化空间，且$f:X\to Y$是完美映射，那么$f[X]$是可度量化的。

我感觉如果不牵扯到其他度量化定理或者广义度量空间的话，这大概就是这个定理能直接用到的最远的结论了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jakobian