向量、函数与矩阵的关联探究及相关技术问题问询

大家好，最近在琢磨向量、矩阵和函数之间的深层联系时，有一些思考和疑问想和各位同行探讨：

首先，向量必然是向量空间的元素。常听到一种说法：“所有向量都是矩阵”——在我看来，如果从广义向量的视角出发，这个论断其实也需要严谨的证明支撑。反过来，固定维度的矩阵本身就是向量空间的元素，所以它们也属于向量范畴。这么看来，“向量和矩阵的概念是否存在等价性？”这个问题似乎也不算荒谬。

广义层面的向量（也就是向量空间的元素），其概念源头似乎是几何向量，而几何向量其实是域$\mathbf{F}$上n元组集合中一类双射函数的特例（这个双射性很容易证明）：

$$
\begin{align*}
f\colon \mathbf F^{n} & \longrightarrow\mathbf F^{n} \[-1ex]
(e_{1}, e_{2},.. e_{n}) & \longmapsto (e_{1}+a, e_{2}+b,.. e_{n}+z) \
a, b,.. z ∈ \textbf{F}
\end{align*}
$$

不难证明这类函数构成一个向量空间。

拿几何向量举例，此时$\mathbf{F}=\mathbb{R}$（n通常是2或3 😊）。比如向量加法操作，本质就是这类函数的复合运算。这就让我产生了一个疑问：其他类型的向量是否也可以被看作函数？如果可以的话，它们对应的是哪些具体函数？

目前我想到至少一条思路：前面提到向量可以被视为矩阵，而矩阵本身就是函数——不过这条路径太形式化了，甚至有点空洞。按照这个逻辑，几何向量就只是这样一个函数$g$：

$$
\begin{align*}
g\colon 1×\mathbf {K} ⊂ \mathbf {N}×\mathbf{N} & \longrightarrow\mathbf F \
\end{align*}
$$

但这个函数看起来和向量空间及其核心结构几乎没有关联。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者George