关于$p^4$阶、指数为$p$的群的不可约表示的逻辑疑问
嘿，这个问题提得特别到位——你卡在了几个容易踩坑的细节上，咱们一步步把逻辑理顺：
第一个核心错误：误判了$G_2$的中心
你一开始认为$G_2$的中心是${a^n \mid n=0,\dots,p-1}$（大小为$p$），但实际上这个群的中心要更大。咱们根据定义关系仔细推导：
设$g = a^m x^i y^j z^k$是中心元素，必须满足和所有生成元交换：
- 和$x$交换：由$yx=axy$、$zx=axz$，推导可得等价于$j + k \equiv 0 \pmod{p}$；
- 和$y$交换：由$zy=ayz$、$yx=axy$，推导可得等价于$k = i$；
- 和$z$交换：由$zx=axz$、$zy=ayz$，推导可得等价于$i + j \equiv 0 \pmod{p}$；
- $a$本身和所有元素交换，所以$m$可以取$0$到$p-1$的任意值。
联立这些条件，中心元素的形式是$g = a^m (x y^{-1} z)^i$，其中$m,i=0,\dots,p-1$。也就是说，$G_2$的中心$Z(G_2)$是由$a$和$x y^{-1} z$生成的阶为$p^2$的初等阿贝尔群，不是你之前认为的阶$p$！
第二个错误：共轭类与不可约表示数量的计数
基于正确的中心大小，重新计算共轭类：
- 中心元素的共轭类都是单元素，共$p^2$个；
- 非中心元素的中心化子大小：比如取$g=x$，其中心化子$C_{G_2}(x)$包含所有满足$j+k \equiv0 \pmod{p}$的元素，共$p3$个，因此非中心共轭类的大小是$|G_2|/|C_{G_2}(x)|=p4/p^3=p$；
- 非中心元素总数是$p^4 - p2$，所以非中心共轭类数量是$(p4 - p^2)/p = p^3 - p$。
因此，$G_2$的共轭类总数是$p^2 + (p^3 - p) = p^3 + p^2 - p$，而有限群的不可约表示数量等于共轭类数量，所以不可约表示总数也是这个数。
你之前正确算出1维表示有$p3$个（对应阿贝尔化$G_2/[G_2,G_2]$，其阶为$p3$），因此剩余的不可约表示数量是：
$$(p^3 + p^2 - p) - p^3 = p^2 - p = p(p-1)$$
第三个错误：不可约表示维度的计算
现在计算剩余表示的维度平方和：
$$|G_2| - \sum_{1维表示} \dim(\rho)^2 = p^4 - p^3 = p^3(p-1)$$
假设这些剩余的不可约表示维度都相同（你的这个假设其实是对的，因为$G_2$的自同构群确实会让这些表示等价类的维度一致），设维度为$d$，则：
$$p(p-1)d^2 = p^3(p-1)$$
两边约去$p(p-1)$（$p$是素数，$p≥2$），得到$d^2 = p^2$，即$d=p$——完全是整数，没有矛盾！
总结你的逻辑漏洞
- 最关键的错误是误判了$G_2$的中心大小，导致后续共轭类、不可约表示数量的计数全部出错；
- 你错误地认为剩余的不可约表示只有$p-1$个，但实际是$p(p-1)$个，这才是导致你算出非整数维度的直接原因；
- 额外补充：你关于“所有剩余不可约表示维度相同”的假设是合理的，这个群的自同构群确实保证了这一点，只是前面的计数错误让你得到了矛盾的结果。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Craig
