二元二十面体群旋转元素的矩阵表示方法问询

嗨，我来帮你理清楚二元二十面体群里这些旋转元素对应的矩阵怎么推导和表示哈～

首先要明确：二元二十面体群是SU(2)的有限子群，每个元素都是单位四元数，而每个单位四元数对应SO(3)里的一个旋转操作，我们可以通过标准的四元数转旋转矩阵的公式来得到对应的3×3矩阵。下面逐个分析你给出的例子：

单位元$R_1$对应的矩阵 #

你提到的$R_1 = 1 + 0i + 0j + 0k$是群的单位元，对应SO(3)里的恒等旋转，它的矩阵就是标准的3×3单位矩阵：

[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]

π旋转元素$R_2$对应的矩阵 #

$R_2 = 0 + 1i + 0j + 0k$是一个纯虚单位四元数，对应绕x轴（也就是你说的边对齐轴）旋转π的操作。

我们用单位四元数转旋转矩阵的公式：对于四元数$q = w + xi + yj + zk$，对应的旋转矩阵为：
$$
\begin{bmatrix}
1-2y²-2z² & 2xy-2wz & 2xz+2wy \
2xy+2wz & 1-2x²-2z² & 2yz-2wx \
2xz-2wy & 2yz+2wx & 1-2x²-2y²
\end{bmatrix}
$$
把$w=0, x=1, y=0, z=0$代入计算：

• 第一行：$1-0-0=1$；$210 - 200=0$；$210 + 200=0$
• 第二行：$210 + 200=0$；$1-21²-0=-1$；$200 - 20*1=0$
• 第三行：$210 - 200=0$；$200 + 201=0$；$1-2*1²-0=-1$

最终得到的矩阵是：

[1  0   0]
[0 -1   0]
[0  0  -1]

这个矩阵确实对应绕x轴旋转π的操作，和你描述的一致。

2π/3旋转元素$R_3$对应的矩阵 #

$R_3 = 1/2 + 1/2i + 1/2j + 1/2k$是一个单位四元数（模长为$\sqrt{(1/2)^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2}=1$），它对应的旋转轴是$(1,1,1)$方向（x、y、z分量相等，单位化后就是$(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$），旋转角度为$2π/3$：因为四元数的实部$w=\cos(\theta/2)$，这里$w=1/2$，所以$\theta/2=π/3$，$\theta=2π/3$，正好匹配你说的面心轴旋转。

同样代入上面的矩阵公式，把$w=1/2, x=1/2, y=1/2, z=1/2$代入计算：

• 第一行：$1-2*(1/2)^2-2*(1/2)2=0$；$2*(1/2)(1/2)-2*(1/2)(1/2)=0$；$2*(1/2)(1/2)+2*(1/2)(1/2)=1$
• 第二行：$2*(1/2)(1/2)+2*(1/2)(1/2)=1$；$1-2*(1/2)^2-2*(1/2)2=0$；$2*(1/2)(1/2)-2*(1/2)(1/2)=0$
• 第三行：$2*(1/2)(1/2)-2*(1/2)(1/2)=0$；$2*(1/2)(1/2)+2*(1/2)(1/2)=1$；$1-2*(1/2)^2-2*(1/2)2=0$

得到的矩阵是：

[0 0 1]
[1 0 0]
[0 1 0]

这个矩阵会把向量$(x,y,z)$映射为$(z,x,y)$，正好是绕$(1,1,1)$轴旋转$2π/3$的效果，完全符合你的描述。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者j.doe