高斯的尤里卡定理——正整数表示为三个三角数之和的表示数

你好！先直接回应你的第一个疑问：是的，你的等价转换完全正确。我们可以快速验证：把原式
$$N = \frac{a(a+1)}{2} + \frac{b(b+1)}{2} + \frac{c(c+1)}{2}$$
两边乘以8再加3，左边得到$8N+3$；右边展开每个三角数项：
$$8 \times \frac{k(k+1)}{2} + 1 = 4k(k+1) + 1 = (2k+1)^2$$
三个这样的项相加正好是$(2a+1)^2 + (2b+1)^2 + (2c+1)^2$，而且$2a+1$都是正奇数（因为$a$是非负整数），所以N的三角数有序表示数，和$8N+3$的正奇数平方和有序表示数是一一对应的。

接下来回答你的两个核心问题：

一、如何系统生成$(a,b,c)$的表示？ #

可以按以下步骤来操作：

1. 先计算$M = 8N + 3$，我们的目标是找到所有由正奇数组成的三元组$(x,y,z)$，满足$x^2 + y^2 + z^2 = M$。
2. 枚举所有可能的正奇数$x$，范围是$1 \leq x \leq \sqrt{M}$：
   • 对每个$x$，计算剩余值$M_1 = M - x^2$，如果$M_1 < 2$（最小的两个正奇数平方和是$1+1=2$），直接跳过。
   • 再枚举正奇数$y$，范围是$1 \leq y \leq \sqrt{M_1}$：
     • 计算剩余值$M_2 = M_1 - y^2$，判断$\sqrt{M_2}$是否是整数且为奇数——如果是，那$z = \sqrt{M_2}$就是第三个正奇数。
3. 一旦找到符合条件的$(x,y,z)$，通过$a=(x-1)/2$、$b=(y-1)/2$、$c=(z-1)/2$就能得到对应的三角数参数。

举个实际例子：比如$N=2$，$M=8*2+3=19$。枚举$x=1$时，$M_1=19-1=18$；再枚举$y=3$，$M_2=18-9=9$，$\sqrt{9}=3$是奇数，所以得到$(1,3,3)$，对应$a=0$、$b=1$、$c=1$，也就是$0+1+1=2$，符合条件。另外$(3,1,3)$、$(3,3,1)$这些有序组合也都是有效的表示。

二、有没有显式公式表示表示数？ #

有的，这个结果是高斯通过二次型理论推导出来的，核心和$M=8N+3$的除数性质有关：

• 若考虑有序三元组（即$(a,b,c)$和$(b,a,c)$算不同表示），那么表示数等于$\frac{1}{8}$乘以$M$表示为三个整数平方和的所有有序三元组（包括正负和顺序）的个数。而$M$的整数平方和表示数公式是：
  $$r_3(M) = 24 \sum_{\substack{d | M \ d \text{ odd}}} (-1)^{\frac{d-1}{2}} d$$
  这里的$r_3(M)$包含了所有正负组合和排列，比如$(x,y,z)$、$(-x,y,z)$、$(y,x,z)$等都算不同的表示。因为$M$是4k+3型数，所有平方和表示都由三个奇数组成，所以每个正奇数的有序三元组对应8个带正负的组合，因此有序三角数表示数就是$\frac{|r_3(M)|}{8}$。
  用$N=1$验证：$M=11$，$\sum_{\substack{d | 11 \ d \text{ odd}}} (-1)^{\frac{d-1}{2}}d = 11 +11(-1) = -10$，$r_3(M)=24*(-10)=-24$，绝对值是24，$24/8=3$，正好对应$(0,0,1)$、$(0,1,0)$、$(1,0,0)$这3种有序表示。
• 若考虑无序三元组（即$(a,b,c)$和$(b,a,c)$算同一种表示），则需要在有序表示数的基础上，根据三元组中元素的重复情况进行调整：比如三个元素都不同的话，有序表示数是6倍的无序表示数；两个元素相同的话，有序表示数是3倍的无序表示数；三个元素都相同的话，有序表示数等于无序表示数。

如果你想深入学习相关内容，高斯的《算术研究》是经典原著，国内的数论教材比如华罗庚的《数论导引》、闵嗣鹤的《初等数论》也有相关章节的讲解，会详细推导这个公式的来龙去脉。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者vvg