Brezis泛函分析习题6.16求解验证及解法咨询

最近在刷Brezis的《泛函分析》习题，碰到了这么一道题，我自己尝试做了解答，但总觉得第二部分可能有没发现的细节错误，想请大家帮忙检查一下，也很乐意看到其他解题思路~

题目内容 #

设$(E, |\cdot|)$是实Banach空间，$T \in \mathcal L(E)$（即$T:E \to E$是有界线性算子），$I:E \to E$是恒等映射，$\rho(T)$是$T$的预解集，$\sigma(T)$是$T$的谱，定义为$\sigma(T) := \mathbb R \setminus \rho(T)$。

分三个小问题：

• 假设$T^2 = I$，证明$\sigma(T) \subset {-1, 1}$，并求$\lambda \neq \pm 1$时的$(T-\lambda I)^{-1}$。
• 更一般地，假设存在整数$n\ge 2$使得$T^n=I$，证明$\sigma(T) \subset {\pm 1}$，并求$\lambda \neq \pm 1$时的$(T-\lambda I)^{-1}$。
• 假设存在整数$n\ge 2$使得$T^n=0$，证明$\sigma(T) = {0}$，并求$\lambda \neq 0$时的$(T-\lambda I)^{-1}$。

我的解答尝试 #

1. $T^2 = I$的情况

设$\lambda \neq \pm 1$，我们有：
$$
(T-\lambda I)(T+\lambda I) = (T+\lambda I)(T-\lambda I) =T^2-\lambda ^2 I = (1-\lambda^2) I \tag{1}
$$
由于$(1-\lambda^2) I$是双射（因为$1-\lambda^2 \neq 0$），所以$(T-\lambda I)$和$(T+\lambda I)$都是双射，因此$\lambda \in \rho(T)$，即$\sigma(T) \subset {-1, 1}$。

由式(1)可得：
$$
(1-\lambda^2) (T-\lambda I)^{-1} (T+\lambda I)^{-1} = I
$$
又因为$(T+\lambda I) (T+\lambda I)^{-1} = I$，所以：
$$
(1-\lambda^2) (T-\lambda I)^{-1} = T+\lambda I
$$
从而得到：
$$
(T-\lambda I)^{-1} = \frac{T+\lambda I}{1-\lambda^2}
$$

2. $T^n=I$（$n\ge2$）的情况

设$\lambda \neq \pm 1$，考虑多项式$p(t) := t^n-\lambdan$，其中$t \in \mathbb R$，则：
$$
p(t)= (t-\lambda) \sum_{k=0}^{n-1} t^k \lambda^{n-k-1}
$$
由于$T^n=I$，所以：
$$
p(T) = T^n-(\lambda I)^n = (1-\lambda^n) I \tag{1}
$$
显然$p(T)$是双射（因为$\lambda \neq \pm 1$，所以$1-\lambda^n \neq 0$）。

另一方面，我们有：
$$
(T-\lambda I) \sum_{k=0}^{n-1} T^k \lambda^{n-k-1} \overset{(2)}{=} p(T) \overset{(3)}{=} \left ( \sum_{k=0}^{n-1} T^k \lambda^{n-k-1} \right ) (T-\lambda I) \tag{4}
$$
由式(2)可知$(T-\lambda I)$是满射，$\sum_{k=0}^{n-1} T^k \lambda^{{n-k-1}$是单射；由式(3)可知$\sum_{k=0}}{n-1} T^k \lambda^{n-k-1}$是满射，$(T-\lambda I)$是单射。因此两者都是双射，特别地$\lambda \in \rho(T)$，故$\sigma(T) \subset {\pm 1}$。

由式(2)可得：
$$
(T-\lambda I) \frac{1}{1-\lambda^n} \sum_{k=0}^{n-1} T^k \lambda^{n-k-1} = I
$$
因此：
$$
(T-\lambda I)^{-1} = \frac{1}{1-\lambda^n} \sum_{k=0}^{n-1} T^k \lambda^{n-k-1}
$$

3. $T^n=0$（$n\ge2$）的情况

这部分思路和前一题类似，考虑多项式$p(t) = t^n - \lambda^n$，则$p(T) = T^n - (\lambda I)^n = -\lambda^n I$，显然$-\lambda^n I$是双射（$\lambda \neq 0$），同样利用多项式分解：
$$
p(t) = (t-\lambda)\sum_{k=0}^{n-1} t^k \lambda^{n-k-1}
$$
可得：
$$
(T-\lambda I)\sum_{k=0}^{n-1} T^k \lambda^{n-k-1} = -\lambda^n I
$$
因此$(T-\lambda I)$是双射，$\lambda \in \rho(T)$，故$\sigma(T) = {0}$，且逆算子为：
$$
(T-\lambda I)^{-1} = -\frac{1}{\lambda^n} \sum_{k=0}^{n-1} T^k \lambda^{n-k-1} = -\sum_{k=0}^{n-1} \frac{T^k}{\lambda{k+1}}
$$

我总觉得第2部分的证明里可能有一些没注意到的细节错误，比如在推导双射性的时候有没有疏漏？麻烦大家帮忙看看，也欢迎提出其他更简洁的解题方法~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akira