利用范畴论补全自由模子集为基的证明环节
前置设定（参考下方交换图）
假设 $E = \left{\sum_{j=1}^n m_{ji}x_j\right}_{i=1}^n$ 是自由 $R$-模 $F$ 的一组基。令 $I = {1, \dots, n}$ 为指标集，$V = {v_1, \dots, v_n}$ 为自由 $R$-模 $R^{\oplus n}$ 的一组标准基。定义典范单射 $\psi: I \to R^{\oplus n}$ 为 $i \mapsto v_i$。
根据自由模基的定义，映射 $g: I \to F$（将 $i$ 映射到 $E$ 的第 $i$ 个元素）是单射，且同构 $\varphi_E: R^{\oplus n} \to F$ 满足 $\sum_{i=1}^n k_i v_i \mapsto \sum_{i=1}^n k_i g(i)$，由此交换图左侧可交换。
待证命题
若定义映射 $h: I \to R^{\oplus n}: j \mapsto \sum_{i=1}^n m_{ij}v_i$，则由 $h$ 诱导的同态 $\phi: R^{\oplus n} \to R^{\oplus n}$（满足 $\sum k_i v_i \mapsto \sum k_i h(i)$，且使交换图交换）是同构，即 $S = \left{\sum_{i=1}^n m_{ij}v_i\right}_{j=1}^n$ 是 $R^{\oplus n}$ 的一组基。
现有论证思路
已知 $\varphi_E$ 是同构，将 $\varphi_E$ 限制在集合 $S$ 上可得到 $S$ 与基 $E$ 之间的集合双射，因此 $S$ 和 $E$ 基数相同。同时，$\phi$ 限制在基 $V$ 上得到双射 $v_i \mapsto \sum m_{ij}v_i$（即从 $V$ 到 $S$ 的双射）。现在需要补全最后一步：为何“$\phi$ 是基上双射的扩张就意味着它是自由模同构”？
范畴论视角的补全证明
其实这个结论可以直接从自由模的泛性质以及模范畴中的同构判定来推导，咱们一步一步理清楚：
自由模的泛性质回顾
对于任意集合 $X$，自由 $R$-模 $F(X)$ 满足：存在集合映射 $\iota: X \to F(X)$，使得对任意 $R$-模 $M$ 和任意集合映射 $f: X \to M$，存在唯一的 $R$-模同态 $\tilde{f}: F(X) \to M$ 满足 $\tilde{f} \circ \iota = f$。在咱们的场景里，$R^{\oplus n}$ 就是集合 $I$（或者说集合 $V$，因为 $V$ 和 $I$ 是双射对应的）上的自由模，$\psi: I \to R^{\oplus n}$ 就是泛性质里的典范嵌入 $\iota$。
构造逆同态
既然已经知道 $\phi$ 把 $R^{\oplus n}$ 的基 $V$ 双射到 $S$，那我们可以定义一个集合映射 $h': S \to V$——也就是 $h$ 的逆映射（因为 $h: V \to S$ 是双射）。根据自由模的泛性质，这个集合映射 $h'$ 可以唯一扩张成一个 $R$-模同态 $\phi': R^{\oplus n} \to R^{\oplus n}$，使得 $\phi'$ 在 $S$ 上的作用就是 $h'$。
验证复合为恒等映射
- 先看 $\phi' \circ \phi$ 在基 $V$ 上的作用：对于任意 $v_i \in V$，$\phi(v_i) = s_i \in S$，然后 $\phi'(s_i) = v_i$，所以 $\phi' \circ \phi(v_i) = v_i$。由于模同态由它在基上的作用唯一确定，因此 $\phi' \circ \phi = \text{id}_{R^{\oplus n}}$。
- 再看 $\phi \circ \phi'$ 在 $S$ 上的作用：对于任意 $s_i \in S$，$\phi'(s_i) = v_i$，然后 $\phi(v_i) = s_i$，所以 $\phi \circ \phi'(s_i) = s_i$。而 $S$ 生成整个 $R^{\oplus n}$，如果一个同态在生成集上和恒等映射一致，那它就是恒等映射，因此 $\phi \circ \phi' = \text{id}_{R^{\oplus n}}$。
模范畴的同构判定
在模范畴 $\mathbf{Mod}_R$ 中，一个态射是同构当且仅当它有双边逆态射。刚才我们构造了 $\phi$ 的双边逆 $\phi'$，所以 $\phi$ 必然是同构。另外也可以结合线性代数的视角辅助理解：$\phi$ 对应的矩阵就是 $(m_{ij})$，而 $\varphi_E$ 作为同构对应的是基变换矩阵，基变换矩阵必然可逆，所以 $\phi$ 对应的矩阵可逆，从而 $\phi$ 是同构——不过范畴论的核心还是泛性质带来的唯一扩张和逆态射的存在性。
关键结论总结
你之前的论证已经得到了“$\phi$ 把基 $V$ 双射到集合 $S$”，而自由模的泛性质保证了：
- 基上的双射可以唯一扩张成模同态（正向是 $\phi$，反向是 $\phi'$）；
- 这两个扩张后的同态互为逆，因此 $\phi$ 是同构。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者shintuku
