利用积分形式证明对数性质的疑问：证明L(xᵇ)=bL(x)时的变量替换问题

嗨，我看你在尝试用积分形式推导对数的这个性质时卡在了变量替换这一步，咱们一起来把这个问题捋清楚～

首先明确核心定义和目标：
已知对数的积分定义：
$$L(x) = \int_1^x\frac{1}{u}du$$
我们需要证明的性质是：$L(x^b) = bL(x)$

你之前把积分拆成两部分的思路本身是没问题的：
$$L(x^b) = \int_1^{x{b}}\frac{1}{u}du = \int_1^{x}\frac{1}{u}du + \int_x^{x{b}}\frac{1}{u}du$$
问题出在你后续选的变量替换——$u = bt$ 完全没贴合 $x^b$ 的幂次结构，自然没法推导出想要的结果。下面给你两种可行的推导思路：

思路一：直接对整个积分做变量替换（最简洁） #

不用拆分积分，直接对 $L(x^b)$ 做针对性的变量替换：
令 $u = t^b$，那么：

• 当积分下限 $u=1$ 时，对应 $t=1$；
• 当积分上限 $u=x^b$ 时，对应 $t=x$；
• 对 $u = t^b$ 求微分，得到 $du = b t^{b-1} dt$。

把这些代入原积分：
$$
\begin{align*}
L(x^b) &= \int_{t=1}^{t=x} \frac{1}{t^b} \cdot b t^{b-1} dt \
&= \int_1^x \frac{b}{t} dt \
&= b \int_1^x \frac{1}{t} dt \
&= b L(x)
\end{align*}
$$
这样一步就直接得到了想要的结论，是不是很顺畅？

思路二：继续你的拆分思路，修正变量替换 #

如果你想坚持拆分后的推导，那咱们修正第二个积分的替换方式：
针对 $\int_x^{xb}\frac{1}{u}du$，令 $u = x^t$，那么：

• 当 $u=x$ 时，$t=1$；
• 当 $u=x^b$ 时，$t=b$；
• 求微分得 $du = x^t \cdot \ln x dt$。

代入积分后：
$$
\begin{align*}
\int_x^{xb}\frac{1}{u}du &= \int_{t=1}^{t=b} \frac{1}{x^t} \cdot x^t \ln x dt \
&= \ln x \int_1^b dt \
&= \ln x \cdot (b-1)
\end{align*}
$$
而根据定义，$L(x) = \int_1^x \frac{1}{u}du = \ln x$，所以这部分积分等于 $(b-1)L(x)$。再加上前面的 $\int_1^x \frac{1}{u}du = L(x)$，总和就是：
$$L(x) + (b-1)L(x) = bL(x)$$
同样能得到结论。

本质上，你之前的问题就是变量替换没有结合 $x^b$ 的幂次特征，选一个能把上限 $x^b$ 转化为 $x$、同时让被积函数对齐 $L(x)$ 形式的替换，就能顺利完成推导啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SirMrpirateroberts