求解满足矩阵方程AΛB=C的对角矩阵Λ的方法咨询

嘿，这个问题我挺熟悉的，咱们一步步拆解来搞定它。首先明确已知条件：我们有胖矩阵 ${\bf A} \in \mathbb{C}^{M \times Q}$（$M < Q$），高矩阵 ${\bf B} \in \mathbb{C}^{Q \times N}$（$Q > N$），以及目标矩阵 ${\bf C} \in \mathbb{C}^{M \times N}$，要找一个对角矩阵 ${\bf \Lambda} \in \mathbb{C}^{Q \times Q}$满足 ${\bf A} {\bf \Lambda} {\bf B} = {\bf C}$。

核心思路：把矩阵方程转化为线性方程组 #

首先，我们把对角矩阵 $\bf \Lambda$ 的对角元素拎出来，设 $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_Q)$，其中 $\lambda_k \in \mathbb{C}$ 就是我们要求的未知量。

接下来展开矩阵乘法的本质：

• 把 $\bf A$ 的列向量记为 ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_Q$（每个都是 $M$ 维列向量）
• 把 $\bf B$ 的行向量记为 ${\bf b}_1^T, {\bf b}_2^T, ..., {\bf b}_Q^T$（每个都是 $N$ 维行向量）

那么 ${\bf A} \Lambda {\bf B}$ 可以写成这些列向量和行向量的线性组合：
$$
{\bf A} \Lambda {\bf B} = \sum_{k=1}^Q \lambda_k \cdot {\bf a}_k {\bf b}_k^T
$$

这个等式要等于 $\bf C$，所以我们得到了一个关于 $\lambda_1, ..., \lambda_Q$ 的线性关系。为了把它变成标准的线性方程组形式，我们可以用向量化（vec）操作和克罗内克积（⊗）：

• 对矩阵 ${\bf a}_k {\bf b}_k^T$ 做向量化，有 $\text{vec}({\bf a}_k {\bf b}_k^T) = {\bf b}_k \otimes {\bf a}_k$
• 对等式两边同时做向量化，得到：
  $$
  \sum_{k=1}^Q \lambda_k \cdot ({\bf b}_k \otimes {\bf a}_k) = \text{vec}({\bf C})
  $$

把这个式子写成矩阵-向量形式就是：
$$
{\bf D} \boldsymbol{\lambda} = {\bf d}
$$
其中：

• ${\bf D}$ 是一个 $MN \times Q$ 的矩阵，每一列就是 ${\bf b}_k \otimes {\bf a}_k$
• $\boldsymbol{\lambda} = [\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_Q]^T$ 是我们要求的未知向量
• ${\bf d} = \text{vec}({\bf C})$ 是 $MN$ 维的右端向量

求解这个线性方程组 #

现在问题就转化为解这个标准的线性方程组了，我们分情况讨论：

1. 精确解存在的情况：如果向量 $\bf d$ 在 ${\bf D}$ 的列空间里，说明方程组相容。这时候：
   • 如果 ${\bf D}$ 是列满秩的（即 $\text{rank}({\bf D}) = Q$），那么有唯一解 $\boldsymbol{\lambda} = ({\bf D}^H {\bf D})^{-1} {\bf D}^H {\bf d}$（这里 ${\bf D}^H$ 是共轭转置）
   • 如果 ${\bf D}$ 的秩小于 $Q$，那么有无穷多解，可以用伪逆找到最小范数解 $\boldsymbol{\lambda} = {\bf D}^+ {\bf d}$（${\bf D}^+$ 是Moore-Penrose伪逆）
2. 无精确解的情况：如果方程组不相容，那我们可以求最小二乘解，也就是找到 $\boldsymbol{\lambda}$ 使得 $|{\bf D} \boldsymbol{\lambda} - {\bf d}|_2$ 最小，这时候解同样可以用伪逆计算：$\boldsymbol{\lambda} = {\bf D}^+ {\bf d}$

最后一步：构造对角矩阵Λ #

不管是哪种情况，得到 $\boldsymbol{\lambda}$ 之后，只需要把它的元素依次放在对角线上，就能得到我们要的对角矩阵 $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_Q)$ 啦。

举个简单例子帮你理解 #

比如取 $M=2, Q=3, N=1$：

• ${\bf A}$ 是 $2 \times 3$ 矩阵，${\bf B}$ 是 $3 \times 1$ 向量，${\bf C}$ 是 $2 \times 1$ 向量
• 这时候 ${\bf A} \Lambda {\bf B} = \lambda_1 {\bf a}_1 b_1 + \lambda_2 {\bf a}_2 b_2 + \lambda_3 {\bf a}_3 b_3 = {\bf C}$，也就是一个2个方程、3个未知数的线性方程组，直接用上面的方法转化求解就行。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pikarm