简单线性回归与多元线性回归的回归系数对比及相关疑问

很高兴能帮你理清这个回归系数对比的问题，咱们结合你举的体重预测例子一步步拆解：

首先明确一点：你完全可以对比简单线性回归里的系数$m$和多元线性回归里的$m_1$，但得先搞清楚两者的本质差异：

• 简单回归中的$m$，是年龄$x_1$单独对体重$y$的总效应——这里面既包含年龄本身对体重的直接影响，也包含年龄通过其他相关因素（比如你后来加入的身高$x_2$）间接传递给体重的影响。
• 多元回归中的$m_1$，是控制了身高$x_2$之后，年龄$x_1$对体重$y$的偏效应——相当于把身高对体重的影响固定住，只看年龄本身变化带来的体重变化。

接下来针对你的两个具体疑问：

2.1 当$m_1 < m$时，“控制$x_2$降低了$x_1$的效应”是否准确？ #

这个表述是准确的，背后的核心原因是**$x_1$和$x_2$存在正相关关系**（比如在成长阶段，年龄越大的人往往身高越高，而身高本身也会让体重增加）。
简单回归里的$m$，其实把“年龄→身高→体重”这部分间接效应也算进了年龄的总效应里；当你控制住身高$x_2$后，就把这部分间接效应剔除了，剩下的只有年龄本身对体重的直接影响，所以$m_1$会比$m$小。

2.2 当$m_1 > m$时，“控制$x_2$增加了$x_1$的效应”是否准确？ #

这个表述同样准确，这种情况一般出现在**$x_1$和$x_2$存在负相关关系**的场景下（虽然你假设所有系数都是正的，但$x_1$和$x_2$的相关性可以是负的）。
举个贴合你例子的情况：假设研究的是成年人群体，年龄$x_1$增长时，身高$x_2$可能不再增长甚至略有下降，但体重$y$还是会上升。这时候$x_1$和$x_2$呈负相关，简单回归里的$m$会被身高的负向影响“稀释”——毕竟身高下降会拉低体重，抵消了一部分年龄增长带来的体重上升；当控制住身高$x_2$后，就排除了身高下降的干扰，年龄对体重的真实效应就体现出来，所以$m_1$会比$m$大。

额外补充一个特殊情况：如果$x_1$和$x_2$完全不相关，那么$m$和$m_1$会几乎相等，控制$x_2$不会对$x_1$的系数产生影响。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user10859