有限群中满足阶大于群阶平方根的两个子群的交的阶大于1的证明求助

嗨，很高兴能帮你梳理这个问题的解法！先把问题明确下来：

设$H, K$是有限群$G$的两个子群，满足$|H|>\sqrt{|G|}$且$|K|>\sqrt{|G|}$，证明$|H \cap K|>1$。

你已经有了不错的起步思路，先纠正一个小细节：你提到“$H \cap K$不可能是0”，其实更准确的是子群必然包含单位元，所以$|H \cap K|$至少是1，我们要做的就是排除它等于1的情况。

你对正规子群的情况分析是对的，但其实这个结论不需要依赖“子群正规”这个条件——关键是记住一个对任意子群都成立的计数公式：

对于群$G$的任意两个子群$H, K$，它们的乘积集合$HK = {hk \mid h \in H, k \in K}$的元素个数满足：
$$|HK| = \frac{|H| \cdot |K|}{|H \cap K|}$$

这个公式的核心逻辑是：每个元素$hk$可以被表示为不同的$(h', k')$对，当且仅当$h' = h \cdot g$，$k' = g^{-1} \cdot k$，其中$g \in H \cap K$。所以每个$HK$中的元素对应$|H \cap K|$个不同的$(h,k)$对，因此总元素数就是$(|H| \cdot |K|)$除以$|H \cap K|$。

现在用反证法来证明结论：

• 假设$|H \cap K| = 1$，代入公式可得$|HK| = |H| \cdot |K|$。
• 根据题目条件，$|H|>\sqrt{|G|}$且$|K|>\sqrt{|G|}$，所以$|H| \cdot |K| > \sqrt{|G|} \cdot \sqrt{|G|} = |G|$。
• 但$HK$是$G$的子集，子集的元素个数不可能超过母集的阶，也就是$|HK| \leq |G|$，这就产生了矛盾！

因此假设不成立，也就是说$|H \cap K|$必然大于1，结论得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者santm