关于陶哲轩《分析I》对称公理中“同类型”概念的技术问询

首先先把陶哲轩原文列出来：

(Symmetry axiom). Given any two objects $x$ and $y$ of the same type, if $x = y$, then
$y = x$.

咱们一步步拆解你的问题：

1. 陶哲轩说的“同类型”是什么意思？ #

这里的“类型”其实就是指数学对象所属的特定论域/集合类别，比如自然数、整数、实数，或者是函数、集合这类不同的数学实体。简单说，就是“同一种类的数学对象”——自然数和自然数是同类型，实数和实数是同类型，但自然数和实数就不是同类型。

2. 如果x和y不是同类型，怎么可能有x=y？ #

在陶哲轩这套严格的分析体系里，跨类型的“相等”本身就是无意义的。不同类型的对象属于完全不同的数学构造，根本不存在“相等”的前提。比如你不能说“自然数5等于实数5.0”——严格来讲，在他的定义里，自然数5是ℕ中的元素，实数5.0是ℝ中的元素，二者是不同的对象，只是我们在日常数学中会简化表述，把它们“视作相等”，但从基础构造的角度，它们分属不同类型，没有相等的可能。

3. 有没有不同类型但x=y的例子？ #

严格来说，在这本书的框架里没有这样的例子。因为陶哲轩的体系是基于严谨的集合论构造，每一种类型的对象都有明确的定义边界，相等关系只在同一类型内部被定义。那些看似跨类型“相等”的情况，本质上是通过嵌入映射把一种类型的对象对应到另一种类型的对象上，但它们并不是同一个对象。

4. 那陶哲轩为什么还要特意强调“同类型”？ #

这完全是为了体系的严谨性。在很多形式化的逻辑系统（比如类型论）中，相等关系是严格限制在同一类型内的——跨类型的相等是逻辑上不成立的表述。陶哲轩在这里提前明确这一点，一是避免读者产生误解，二是和他后续从自然数到整数、实数的构造逻辑保持一致：每一步构造的新对象都是全新的类型，和之前的类型严格区分开，不会出现跨类型的混淆。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user986614