关于含两个奇点的函数$f(z)=\frac{e^\frac{1}{z}}{1-2z}$的围道积分计算疑问

Hey there! Let's work through where you might have gone wrong here — the key mistake is in how you calculated the residue at $z=1/2$. Let's break this down step by step:

• 回顾残数定理：围道积分 $\oint_{|z|=1} f(z)dz$ 等于 $2\pi i$ 乘以围道内部所有奇点的残数之和。这里，$|z|=1$ 内部包含两个奇点：$z=0$（本性奇点）和 $z=1/2$（一阶极点）。

• $z=1/2$ 处的残数计算：对于一阶极点 $z=a$，残数为 $\lim_{z\to a} (z-a)f(z)$。咱们来正确计算：
  $$
  \lim_{z\to 1/2} (z - 1/2) \cdot \frac{e^{1/z}}{1-2z}
  $$
  注意到 $1-2z = -2(z - 1/2)$，代入后：
  $$
  \lim_{z\to 1/2} (z - 1/2) \cdot \frac{e^{1/z}}{-2(z - 1/2)} = \lim_{z\to 1/2} \frac{e^{1/z}}{-2} = -\frac{e^2}{2}
  $$
  你之前算成了 $e^2$，这里的符号错误就是问题所在！

• $z=0$ 处的残数计算：你的这部分计算是对的！我们需要找到 $f(z)$ 在 $z=0$ 处Laurent级数中 $z^{-1}$ 的系数：

  • $e^{1/z}$ 的Laurent级数为 $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} z^{-k}$
  • $\frac{1}{1-2z}$ 在 $|z| < 1/2$ 内的Taylor级数为 $\sum_{m=0}^\infty (2z)^m$
  • 两个级数相乘后，$z^{-1}$ 项来自满足 $-k + m = -1$ 的项对，也就是 $m = k-1$（$k \geq 1$）。因此：
    $$
    a_{-1} = \sum_{k=1}^\infty \frac{2^{k-1}}{k!} = \frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{k!}\right) = \frac{e^2 - 1}{2}
    $$

• 最终计算：将两个残数相加后乘以 $2\pi i$：
  $$
  2\pi i \left( \frac{e^2 - 1}{2} - \frac{e^2}{2} \right) = 2\pi i \times \left( -\frac{1}{2} \right) = -\pi i
  $$
  正好得到题目要求的结果！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tim