关于满足和与三次方和均为0的复数中存在一对和为0的证明疑问

嘿，你的推导思路已经很到位了，卡在ab=cd这个分支很正常，咱们来把这个缺口补上：

首先先回顾下你的核心推导（整理得更清晰些）：
你用到了这个关键恒等式：

当$x+y+z=0$时，$x^3+y3+z^3=3xyz$

因为已知$a+b+c+d=0$，所以你设$x=a$，$y=b$，$z=c+d$，刚好满足$x+y+z=0$，代入恒等式得到：
$$a^3+b3+(c+d)^3=3ab(c+d)$$

展开$(c+d)^3$后：
$$a^3+b3+c^3+d3+3cd(c+d)=3ab(c+d)$$

又因为题目给出$a^3+b3+c^3+d3=0$，代入后移项整理：
$$0=3(c+d)(ab-cd)$$

所以得到两个分支：$c+d=0$ 或者 $ab=cd$。$c+d=0$的情况你已经清楚，那咱们重点看$ab=cd$的情况：

结合总条件$a+b = -(c+d)$，咱们设$s = a+b = -(c+d)$，$p = ab$，那根据$ab=cd$，可得$cd = p$。

这时候，$a$和$b$是二次方程 $t^2 - st + p = 0$ 的两个根，而$c$和$d$是二次方程 $t^2 + st + p = 0$ 的两个根。

咱们把这两个方程的根写出来：

• $a,b = \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4p}}{2}$
• $c,d = \frac{-s \pm \sqrt{s^2 - 4p}}{2}$

现在观察根的组合：
比如取$a = \frac{s + \sqrt{s^2-4p}}{2}$，$d = \frac{-s - \sqrt{s^2-4p}}{2}$，把它们加起来：
$$a + d = \frac{s + \sqrt{s^2-4p}}{2} + \frac{-s - \sqrt{s^2-4p}}{2} = 0$$

或者取$b = \frac{s - \sqrt{s^2-4p}}{2}$，$c = \frac{-s + \sqrt{s^2-4p}}{2}$，相加也是0：
$$b + c = \frac{s - \sqrt{s^2-4p}}{2} + \frac{-s + \sqrt{s^2-4p}}{2} = 0$$

也就是说，当$ab=cd$时，咱们总能找到一对数（比如$a$和$d$，或者$b$和$c$）它们的和为0。

举个实际例子验证：比如取$a=1$，$b=4$，那么$ab=4$，所以$cd=4$；又因为$a+b=5$，所以$c+d=-5$，解出来$c=-1$，$d=-4$，显然$1+(-1)=0$，$4+(-4)=0$，完全符合结论。

所以不管是哪个分支，都能推出这四个复数里一定存在一对和为0的数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Namura