测度论中函数不可积的含义及可积性证明相关技术咨询

嘿，我来帮你梳理下这些测度论里的疑问，咱们一步步拆解：

问题1：不可积的含义与两种定义的等价性 #

先明确教材里的可积定义：

在Avner Friedman的《Foundations of Modern Analysis》中，函数$f$可积当且仅当存在一列可积简单函数${f_n}$满足：
(a) $f_n \rightarrow f$ 依均值收敛；
(b) $f_n \rightarrow f$ 几乎处处收敛；
(c) $\int f = \lim\int f_n$。

关于不可积的两种情况 #

• 情况1：找不到满足条件的可积简单函数列：这种情况在Lebesgue测度这类常用框架里其实很少见，毕竟大部分“行为良好”的可测函数都能被简单函数逼近。但严格来说，如果连一列能从均值或几乎处处角度逼近$f$的可积简单函数都找不到，那$f$肯定不可积——本质上是$f$的可测性或者“量级”超出了简单函数能覆盖的范围。
• 情况2：能找到简单函数列，但不满足(a)(b)(c)中的某条：教材里的三个条件是必须同时满足才算可积。如果找到的列不满足(a)或(b)，那对应的积分极限$\lim\int f_n$可能不存在（来回振荡），或者趋向于$+\infty$或$-\infty$，这时候$f$就不可积。

两种可积定义的等价性 #

你提到的另一种定义：$f$可积当且仅当$\int f^+ < \infty$且$\int f^- < \infty$（其中$f^+ = \max(f,0)$是正部，$f^- = \max(-f,0)$是负部），这和Friedman的定义在Lebesgue积分框架下是完全等价的，逻辑链大概是这样：

• 如果$f$按正负部定义可积，我们可以构造递增的简单函数列逼近$f^{+$，递减的简单函数列逼近$f}-$，把两者组合起来得到${f_n}$，它会同时满足依均值收敛、几乎处处收敛到$f$，且积分极限正好等于$\int f^+ - \int f^-$。
• 反过来，如果$f$按Friedman的定义可积，那$\int f_n$的极限存在且有限，进而能推出$f^+$和$f-$的积分都是有限的，符合正负部的可积条件。

问题2：具体函数的可积性证明（以$f_n(x)$为例） #

先明确要证明的函数：
$$
f_{n} (x)=
\left{
\begin{array}{lr}
\frac{1}{x}, & \text{if }\frac{1}{n}\le x\le1\
0, & \text{if } x=0
\end{array}
\right.
$$

你觉得找简单函数列难，其实可以用最直观的分段常数构造法，步骤很清晰：
对于固定的$n$，我们把区间$[\frac{1}{n},1]$分成$k$个等距小区间，取分点$\frac{1}{n} = x_0 < x_1 < ... < x_k = 1$，其中$x_i = \frac{1}{n} + \frac{i}{k}(1 - \frac{1}{n})$。然后定义简单函数：
$$
g_{k}(x) =
\left{
\begin{array}{lr}
\frac{1}{x_i}, & \text{if } x_{i-1} < x \le x_i \quad (i=1,...,k)\
0, & \text{if } x=0
\end{array}
\right.
$$

接下来验证三个条件：

• 几乎处处收敛到$f_n$：在$[\frac{1}{n},1]$上，当$k\rightarrow\infty$时，每个小区间的长度趋向于0，$g_k(x)$会越来越接近$\frac{1}{x}$；虽然分点处可能不相等，但分点的总测度是0，所以满足几乎处处收敛。
• 依均值收敛：计算积分$\int |g_k - f_n| dx = \sum_{i=1}^k \int_{x_{i-1}}^{x_i} |\frac{1}{x_i} - \frac{1}{x}| dx$，当$k$趋向无穷时，这个积分会趋向于0，满足依均值收敛的要求。
• 积分极限等于$\int f_n$：$\int g_k dx = \sum_{i=1}^k \frac{1}{x_i}(x_i - x_{i-1})$，当$k\rightarrow\infty$时，这个和就是定积分$\int_{\frac{1}{n}}^1 \frac{1}{x} dx = \ln n$，正好等于$f_n$的积分。

这样就构造出了满足条件的简单函数列，证明了$f_n$是可积的。其实对于这种在闭区间上连续的函数，分段常数的简单函数逼近是通用技巧，不用想太复杂~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ComeHaha