标准正态随机变量在单位球面约束下的联合分布求解及极坐标变换适用性问询

嘿，这个问题挺有代表性的，咱们一步步来拆解：先解决单位球面约束下的条件联合分布，再聊聊你提到的n维极坐标（球坐标）变换能不能用。

一、条件联合分布的结论 #

首先，回忆独立同分布标准正态变量的联合概率密度：
$$f(x_1,\dots,x_n) = (2\pi)^{-n/2} e^{{-\frac{1}{2}\sum_{i=1}}n x_i^2}$$

当给定约束$\sum_{i=1}^n X_i^{2=1$时，代入指数部分可得$e}{-1/2}$，这是一个常数。对于连续型随机变量的条件分布（约束是零测集的情况，这里是n维空间中的n-1维球面），条件密度与原联合密度在约束集上的取值成比例。由于原密度在单位球面上处处相等，因此条件密度在单位球面上也是常数——这意味着**$(X_1,\dots,X_n)$在$\sum X_i^{2=1$条件下服从n维单位球面$S}{n-1}$上的均匀分布**。

具体来说，这个条件密度的取值为单位球面表面积的倒数，n-1维球面的表面积公式是：
$$\text{Vol}(S^{{n-1})=\frac{2\pi}{n/2}}{\Gamma(n/2)}$$
其中$\Gamma(\cdot)$是伽马函数，因此条件密度为：
$$f(x_1,\dots,x_n \mid \sum_{i=1}^n X_i^2=1) = \frac{\Gamma(n/2)}{2\pi^{n/2}} \quad \text{当}\sum_{i=1}^n x_i^2=1$$

二、极坐标变换的适用性：完全可行！ #

你提到的n维球坐标变换正是处理这类球面约束问题的绝佳工具，咱们来具体验证：

1. 球坐标变换公式 #

变换关系如下：
$$
\begin{cases}
x_{1}=r\cos\varphi {1} \[1ex]
x{2}=r\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{2} \[1ex]
x_{3}=r\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2} \[1ex]
\vdots \[1ex]
x_{n-1}=r\sin\varphi_{1}\cdots \sin\varphi_{n-2}\cos\varphi_{n-1} \[1ex]
x_{n}=r\sin\varphi_{1}\cdots \sin\varphi_{n-2}\sin\varphi_{n-1}
\end{cases}
$$
参数的取值范围是：
$$0\leq r\leq +\infty,\quad 0\leq\varphi_{1}\leq \pi,\quad 0\leq\varphi_{2}\leq \pi,\quad \dots,\quad 0\leq\varphi_{n-1}\leq 2\pi$$

2. 雅可比行列式 #

对应的变换雅可比行列式为：
$$\mathcal{J}=r^{n-1}\mathcal{J_{1}}= r^{n-1}\sin{n-2}\varphi_{1}\sin^{n-3}\varphi_{2}\cdots\sin\varphi_{n-2}$$
其中$\mathcal{J}_1$是角度部分的雅可比行列式，对应球面的表面积元素。

3. 用变换推导条件分布 #

将原联合密度转换到球坐标下，可得：
$$f(r,\varphi_1,\dots,\varphi_{n-1}) = (2\pi)^{-n/2} e^{-r2/2} \cdot r^{n-1}\sin{n-2}\varphi_1\sin^{n-3}\varphi_2\cdots\sin\varphi_{n-2}$$

我们可以把这个密度拆分为径向部分和角度部分的乘积：
$$f(r,\dots) = f_r(r) \cdot f_{\varphi}(\varphi_1,\dots,\varphi_{n-1})$$
其中$f_r(r)$是径向变量$r=\sqrt{\sum X_i^2}$的边缘密度（服从$\chi_n$分布），而$f_{\varphi}(\dots)$是角度变量的密度。

当给定$r=1$（对应约束$\sum X_i^{2=1$）时，条件密度仅由角度部分决定，且与$\sin}{n-2}\varphi_1\cdots\sin\varphi_{n-2}$成比例——这正好是单位球面均匀分布的角度密度形式（因为球面的表面积积分就是$\int \mathcal{J}1 d\varphi_1\cdots d\varphi{n-1} = \text{Vol}(S^{n-1})$），完全验证了我们之前得到的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者okko