关于Folland实分析定理2.49中等式2.50与外测度$m_*=\rho\times\sigma$关系的疑问

嘿，我完全懂你卡在这儿的感觉——Folland的这个推导确实有点绕，尤其是把极坐标积分和乘积外测度联系起来的时候，咱们一步一步把它捋清楚：

首先得先明确一个关键的映射关系细节：当定理里说$m_* = \rho \times \sigma$，准确来讲是**$\mathbb{R}^{n$上的勒贝格外测度$m_*$，在$\mathbb{R}}n \setminus {0}$区域上等于乘积测度$\rho \times \sigma$通过极坐标映射$\Phi$的拉回**。换句话说，对$\mathbb{R}^n$的任意子集$F$，都有：
$$m_*(F) = (\rho \times \sigma)(\Phi^{-1}(F))$$
这里的$\Phi:(0,\infty)\times S^{{n-1}\to\mathbb{R}}n\setminus{0}$就是咱们熟悉的极坐标映射$\Phi(r,x')=rx'$；$\rho$是$(0,\infty)$上的测度，具体形式是$d\rho(r)=r^{{n-1}dr$；$\sigma$则是球面$S}{n-1}$上的标准球面测度。

现在看你取$f$为集合$F$的特征函数$\chi_F$的情况：

• 你写的左边积分$\int_{\mathbb{R}^{n}\chi_F(x)dx$，其实更准确的是外测度意义下的积分$\int_{\mathbb{R}}n}\chi_F(x)dm_(x)$，它的值就是$m_(F)$——哪怕$F$不是可测集，外测度对特征函数的“积分”就等于它的外测度值。
• 再看右边的积分$\int_0^{{\infty}\int_{S}{n-1}}\chi_F(rx')r^{{n-1}d\sigma(x')dr$，这正好就是乘积测度$\rho\times\sigma$在$\Phi}{-1}(F)$上的积分！咱们拆解一下：
  乘积测度的积分定义是$\int_{(0,\infty)\times S^{{n-1}}\chi_{\Phi}{-1}(F)}(r,x')d(\rho\times\sigma)(r,x')$，而$\chi_{\Phi^{{-1}(F)}(r,x')$的取值逻辑是：当且仅当$(r,x')\in\Phi}{-1}(F)$（也就是$\Phi(r,x')=rx'\in F$）时，它等于1，所以$\chi_{\Phi^{{-1}(F)}(r,x')=\chi_F(rx')$。同时，$d(\rho\times\sigma)(r,x')$的具体形式就是$r}{n-1}drd\sigma(x')$，把这个积分拆成累次积分（对特征函数的情况，Fubini定理的逻辑完全适用），就得到了你写的右边式子。

把这两部分结合起来，就有：
$$m_(F) = (\rho\times\sigma)(\Phi^{-1}(F)) = \int_0^{{\infty}\int_{S}{n-1}}\chi_F(rx')r^{n-1}d\sigma(x')dr$$
这就正好是等式2.50当$f$为特征函数时的形式，所以说它是$m_=\rho\times\sigma$（准确说是$m_*=(\rho\times\sigma)\circ\Phi^{-1}$）的直接重述。

你之前的尝试里可能把映射方向搞反了——应该是$F$是$\mathbb{R}^{n$里的集合，$\Phi}{-1}(F)$才是$(0,\infty)\times S^{n-1}$中对应的集合，而不是$E=\Phi(F)$。调整这个映射方向的理解，整个逻辑就通顺啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sam2018