用弗罗贝尼乌斯方法求解柯西-欧拉方程幂级数解的疑问求助

各位大佬好，我最近在处理这个柯西-欧拉方程的级数解问题时遇到了困惑，想请教一下大家：

$$x^2\frac{d2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+\frac{3}{4}y=0$$

首先我对题目里的“series method”有点懵，一开始就没搞太懂题目具体要什么。我自己假设题目是想让我求这个方程的幂级数解，但题目又没指定展开点，我就默认选了方程的正则奇点$x=0$，打算用弗罗贝尼乌斯方法来求解。

我的求解步骤是这样的：

• 假设方程的解具有形式：$y=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx{n+r}$，其中$r$是待确定的常数，且$c_0\neq0$
• 对$y$求一阶和二阶导数：
  $$y'=\sum_{n=0}^{{\infty}(n+r)c_nx}{n+r-1}$$
  $$y''=\sum_{n=0}^{{\infty}(n+r)(n+r-1)c_nx}{n+r-2}$$
• 把$y$、$y'$、$y''$代入原方程，整理后得到：
  $$\sum_{n=0}^{\infty}\big [(n+r)(n+r-1)-(n+r)+\frac{3}{4}\big ]c_nx^{n+r}=0$$
• 由此得到递推关系：对所有$n\geq0$，$\big [(n+r)(n+r-1)-(n+r)+\frac{3}{4}\big ]c_n=0$
• 当$n=0$时，因为$c_0\neq0$，所以得到指标方程：$4r^2-8r+3=0$，解出来$r_1=\frac{3}{2}$，$r_2=\frac{1}{2}$
• 接下来代入$r=r_1=\frac{3}{2}$到递推关系里，对$n\geq1$的情况，得到：$c_n(n+n^2)=0$，这就意味着所有$n\geq1$的$c_n$都等于0

到这里我就卡住了，不知道哪里出了问题？而且我也有点疑惑，题目说的“series method”到底指什么？毕竟按这个结果，解就只有两项，看起来不太像常规的级数解啊，希望各位大佬能帮我看看问题所在，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Finley