三元非负实数不等式的简洁证明方法求助

我最近提出了这么一个不等式问题，想请教大家有没有简洁漂亮的证明思路：

已知 (a,b,c \ge 0) 且 (ab+bc+ca>0)，求证：
$$\frac{a}{\sqrt{b^2+c2+7bc}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+a2+7ca}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b2+7ab}} \le \frac{a^2+b2+c^2}{ab+bc+ca}.$$

我自己尝试用柯西-施瓦茨不等式做了第一步放缩，得到：
$$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b^2+c2+7bc}} \le \sqrt{(a+b+c)\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b^2+c2+7bc}}.$$
这样问题就转化为需要证明以下不等式成立：
$$\sum\limits_{cyc}\dfrac{a}{b^2+c2+7bc} \le \dfrac{(a^2+b2+c²⁾2}{(ab+bc+ca)^2(a+b+c)}.$$

我直觉上觉得这个转化后的不等式是对的，但实在想不出简洁的证明方法，希望各位能帮忙指点一下！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nguyễn Thái An