极大单调算子的下极限不等式

嘿，这个问题在单调算子理论里是个很基础也很实用的结论，咱们一步步来推导验证它的正确性：

首先先明确已知条件：

• $X$ 是实自反Banach空间
• $A: X \to X'$ 是单调算子（即对任意 $x,y \in X$，都有 $\langle A(x)-A(y), x-y \rangle \geq 0$）
• 序列 $u_n \rightharpoonup u$（在 $X$ 中弱收敛），$A(u_n) \rightharpoonup f$（在 $X'$ 中弱收敛）

接下来咱们用单调算子的定义展开推导：
对于任意的 $v \in X$，由单调性可得：

$\langle A(u_n) - A(v), u_n - v \rangle \geq 0$

把这个内积展开整理：
$$\langle A(u_n), u_n \rangle - \langle A(u_n), v \rangle - \langle A(v), u_n \rangle + \langle A(v), v \rangle \geq 0$$
移项后得到：
$$\langle A(u_n), u_n \rangle \geq \langle A(u_n), v \rangle + \langle A(v), u_n \rangle - \langle A(v), v \rangle$$

现在对两边取 $n \to \infty$ 的下极限：

• 左边就是 $\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \langle A(u_n), u_n \rangle$
• 右边利用弱收敛的性质：$\langle A(u_n), v \rangle \to \langle f, v \rangle$，$\langle A(v), u_n \rangle \to \langle A(v), u \rangle$，所以右边的极限为 $\langle f, v \rangle + \langle A(v), u \rangle - \langle A(v), v \rangle$

于是我们得到对任意 $v \in X$，都有：
$$\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \langle A(u_n), u_n \rangle \geq \langle f, v \rangle + \langle A(v), u \rangle - \langle A(v), v \rangle$$

最后关键一步，令 $v = u$ 代入上式：
右边化简为 $\langle f, u \rangle + \langle A(u), u \rangle - \langle A(u), u \rangle = \langle f, u \rangle$

这样就直接得出了结论：
$$\langle f, u \rangle \leq \displaystyle \liminf_{n \to \infty} \langle A(u_n), u_n \rangle$$

顺带提一句，其实这里甚至不需要 $A$ 是极大单调，只要是单调算子就能推出这个不等式~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Louis