奥数分式等式证明求助：已知三分式和为0，证其中一项为0

我最近被一道中学奥数竞赛题难住了，题目是这样的：

已知数$a$、$b$、$c$满足 $\frac{a - b}{a + b} + \frac{b - c}{b + c} + \frac{c - a}{c + a} = 0$，求证这三个分式中必有一项等于0。

我用的课本给了个提示，但我实在摸不着头绪：

提示：先证明 $\frac{a - b}{a + b} + \frac{b - c}{b + c} + \frac{c - a}{c + a} = -\frac{(a - b)(b - c)(c - a)}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

我尝试了好几种化简方式，都没能得到提示里的等式，更别说完成证明了，下面是我试出来的几个结果：

• 先把每个分式拆成两个分式相减：
  $\frac{a}{{a + b}} - \frac{b}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} - \frac{c}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} - \frac{a}{{c + a}}$
  整理后得到这样的分式：
  $\implies \frac{a(b - c)(b + c) - b(c - a)(c + a) - c(a - b)(a + b)}{(a + b)(c + a)(b + c)}$
• 还有另一种整理后的分子形式：
  $\implies \frac{ab(a + b) - bc(c - b) - ac(a + c)}{(a + b)(c + a)(b + c)}$
• 我也试过直接通分，将三个分式合并为一个，得到的分子是：
  $\frac{{(a - b)(b + c)(c + a) + (b - c)(a + b)(c + a) + (c - a)(a + b)(b + c)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}}$

不管哪种路径，我都没法把分子转化成提示里的 $-(a - b)(b - c)(c - a)$，卡在这儿好几天了。有没有大佬能给点思路、启发或者其他解法呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者curioushuman