我一直试图给算子的谱表示建立一个直观的概念或例子，也就是让公式
$$A=\int_{\sigma (A)} \lambda dP(\lambda)$$
变得更可视化一些。

举个例子，我正在分析这个算子：$A:L^2[0,1]\to L^2[0,1]$，它的作用是 $(A\varphi)(x)=x\varphi(x)$，我觉得这个算子的行为相对容易理解。

我已经知道这个算子的谱是区间 $[0,1]$，对于每个 $E\subset\sigma(A)$，投影值谱测度定义为
$$(P(E)\varphi)(x)=\chi_E(x)\varphi(x)$$。

但我始终没法在谱测度和谱表示公式之间搭建起联系，而且完全不知道该怎么把这个过程可视化出来。

真心希望能得到大家的帮助，感谢各位的时间！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者riemannfanboy