关于满足递推不等式的实序列的归纳法证明求助

我现在卡在这个问题上了，求各位帮忙指点！

给定实序列$(u_n)$，非负实常数$A,B$以及正整数$N$，满足：
$$(\forall n \in {0,1,\cdots,N-1 }) \quad : \quad u_{n+1} \le (1+A)u_n + B$$

需要用归纳法证明，对所有$n\in { 0,1,\cdots,N} $，有：
$$u_n \le e^{{nA}u_0+\dfrac{B}{A}(e}{nA}-1)$$

我的尝试过程： #

我先做了变量替换，令$v_n:=u_n + \dfrac{B}{A}$，这样原不等式可以转化为：
$$v_{n+1} \le (1+A)v_n \tag{*}$$

本来如果$(v_n)$是正序列的话，把从$n=0$到$n=m-1$的不等式(*)依次相乘，就能得到：
$$v_m \le (1+A)^mv_0$$
再利用$1+A \le e^A$这个基本不等式，就能直接推导出要证明的结论了。

但问题是，这里没有任何条件能保证$(v_n)$是正序列啊！我举了个例子验证：
取$u_0 = -2$，$u_1=1$，$B=5$，$A=1$，代入原递推条件完全成立，但如果换一个初始值，比如$u_0=-10$，$A=1$，$B=5$，那$u_1 \le (1+1)\times(-10)+5 = -15$，这时候$v_1 = u_1 + \frac{B}{A} = -15+5=-10$就是负数了，这时候连乘不等式的话会不会出问题？

现在完全卡在这里了，不知道怎么用归纳法绕开序列正负性的问题，求各位大佬给点思路！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Karim Kamil