平均操作对参数线性回归的影响及三种拟合方法等价性的问询

我最近在做参数线性的拟合分析时碰到了个疑问，想跟大家聊聊：

假设我们有一组带重复x值的数据集$(x_{data}, y_{data})$，举个具体例子：
$$ x_{data} = ( 1, 2, 2, 3,3,3, 4 ) $$
$$ y_{data}=(8,10,9,1,2,1.5,−7) $$

我们要用的拟合函数是参数线性的（注意它不一定是变量线性的，比如不是那种$g(x) = m*x + c$的形式），比如这个例子里的：
$$f(x) = a + b \cos(x) + c \sin(x)$$

目前我想到了三种拟合方式：

• 直接用原始数据集$(x_{data}, y_{data})$进行拟合
• 先对每个x对应的y值取平均，得到精简后的数据集：$x_{avg} = (1,2,3,4)$，$y_{avg} = (8,9.5,1.5,4)$，用这个精简数据集拟合
• 保留原始x的点数，但把每个x对应的y替换成该x的平均值，得到$y_{avgSpaced} = (8,9.5,9.5,1.5,1.5,1.5,4)$，用这个数据集拟合

我的猜测是这样的：
我觉得第二种方法得到的拟合结果会和第一种、第三种不一样，因为不同x的权重变了——比如例子里x=3在第二种方法里只算一个点，权重比第一种、第三种里的三个点要小。不过我想，如果给第二种方法的拟合加上权重（每个点的权重等于该x对应的原始数据点数），那它应该和第三种方法等价；另外我的直觉告诉我，第三种方法应该和第一种方法的拟合结果完全一致。

不知道我的这些想法是不是正确的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ions me