含可变参数λ的极限求解疑问：泰勒展开与洛必达法则的应用困惑

我现在需要求解这个带可变参数λ的极限：
$$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sin3x-x\arctan(x^2)+\lambda x^5}{x7}$$

一开始我想用泰勒展开来近似分子里的各个函数，但最后还是得到了$\frac{0}{0}$的未定式。于是我换了第二种方法——洛必达法则，对分子分母求了两次导之后，得到：
$$\lim_{x\rightarrow0^{+}\frac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\rightarrow0}+}\frac{6\sin{x}\cos^2{x}-3\sin3{x}-\frac1{1+x^{4}-\frac{4x(1+x}4)-8x^6}{(1+x4)^2}+20\lambda x^3}{42x5}$$

算出来不管λ取什么值，这个极限都会趋向于$-\infty$。但我有点怀疑这个结果，毕竟这是一道考试题目，教授特意加了λ参数，我觉得应该会存在不同的λ值让极限收敛到不同结果才对。

所以我主要想问问：我用的这个方法到底对不对？是不是有什么条件限制了我不能用洛必达法则，应该换别的方法来做？

编辑补充：题目里原来有个笔误，正确的分子应该是$\sin^{3x-x\arctan(x}2)$，我已经在最上面的极限式里修正了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者L_Cleo