关于自然数子集上有限对称差等价类S的基数计算问询

嗨，我来帮你理一理这个问题的思路~

首先我们先拆解定义，把问题简化：

• 等价关系$A \sim B$的核心是：$A$和$B$的对称差$A \Delta B$是有限集，换句话说就是两个集合只相差有限个元素。
• 集合$S$是所有满足$A \sim \mathbb{N}$的自然数子集$A$的集合，也就是所有和$\mathbb{N}$“只差有限个元素”的$\mathbb{N}$子集。

接下来我们细化$A \sim \mathbb{N}$的条件：
因为$A$本身就是$\mathbb{N}$的子集，所以$A \Delta \mathbb{N} = (\mathbb{N} \setminus A) \cup (A \setminus \mathbb{N})$。而$A \subseteq \mathbb{N}$，所以$A \setminus \mathbb{N}$是空集，因此$A \Delta \mathbb{N}$其实就是$\mathbb{N} \setminus A$。这意味着$A \sim \mathbb{N}$等价于$\mathbb{N} \setminus A$是有限集——也就是说，$A$是$\mathbb{N}$去掉有限个元素之后得到的子集（这类子集也叫余有限子集）。

现在计算$|S|$就很直观了：
每个余有限子集$A$都能唯一对应一个有限子集$F = \mathbb{N} \setminus A$；反过来，每一个$\mathbb{N}$的有限子集$F$，都能生成一个余有限子集$A = \mathbb{N} \setminus F$。这是一个严格的一一对应关系，所以$|S|$就等于$\mathbb{N}$的所有有限子集构成的集合的基数。

那$\mathbb{N}$的有限子集有多少个呢？

• 对于任意非负整数$k$，大小为$k$的$\mathbb{N}$子集数量是$\aleph_0$（比如大小为1的子集是${0},{1},{2},...$，是可数无穷多的）；
• 可数个可数集的并集仍然是可数集，所以$\mathbb{N}$的所有有限子集的总数是$\aleph_0$（和自然数集本身的基数相同）。

综上，我们可以得出结论：$|S| = \aleph_0$，也就是可数无穷大。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Daniel