关于环的同构像有单位元时原环是否必有单位元的疑问

嘿，先提前道个歉，如果这个问题之前已经有人问过了！我自己能证明第一个结论，但不确定有没有反例能推翻我第二个猜想，所以特意来这儿请教大家。

• 我已经能证明：环$R$的同态像有单位元，并不代表$R$本身有单位元。
• 不过我现在有个想法：如果$R'$是环$R$的同构像（也就是存在双射的环同态映射），那是不是只要$R'$有单位元，$R$就一定也有单位元？

我粗略搜了一下没找到相关证明，所以来提问啦，感谢大家的回复！

编辑补充（针对重复标记）：之前看到的相关问题只讨论了满同态的情况，但没涉及既是满射又是单射的同构情况呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Phalaksha C G