马尔可夫半群与其变换后半群的生成元关系问询

先把问题的前置设定清晰梳理出来：

• 设 $(E,\mathcal E)$ 是一个可测空间；
• 定义 $\mathcal E_b:=\left{f:E\to\mathbb R\mid f\text{ 是有界且 }\mathcal E\text{-可测的}\right}$，并赋予一致范数；
• $(\kappa_t)_{t\ge0}$ 是 $(E,\mathcal E)$ 上的马尔可夫半群；
• $(\tilde E,\tilde{\mathcal E})$ 是另一个可测空间；
• 映射 $\varphi:E\to\tilde E$ 是 $(\mathcal E,\tilde{\mathcal E})$-可测的，且满足 $\varphi(E)=\tilde E$，同时对所有 $\tilde f\in\tilde{\mathcal E}_b$ 和 $t\ge0$，有：
  $$\kappa_t\left(\tilde f\circ\varphi\right)=\tilde g\circ\varphi\tag1$$

这里的 $\tilde g$ 是唯一确定的，因此我们可以定义 $\tilde\kappa_t\tilde f:=\tilde g$，不难验证 $(\tilde\kappa_t)_{t\ge0}$ 是 $(\tilde E,\tilde{\mathcal E})$ 上的马尔可夫半群。

接下来，我们可以把 $(\kappa_t){t\ge0}$ 和 $(\tilde\kappa_t){t\ge0}$ 分别看作 $\mathcal E_b$ 和 $\tilde{\mathcal E}_b$ 上的压缩半群，设它们对应的生成元分别为 $A$ 和 $\tilde A$。

现在的核心疑问是：$A$ 和 $\tilde A$ 之间是否存在类似式(1)中 $\kappa_t$ 和 $\tilde\kappa_t$ 那样的对应关系呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者0xbadf00d